Để tìm giá trị lớn nhất của phân thức \( A = \frac{5}{2x^2 + 3x + 10} \), trước tiên, ta cần hiểu rằng giá trị lớn nhất của phân thức này sẽ tương ứng với giá trị nhỏ nhất của mẫu số \( 2x^2 + 3x + 10 \).

Ta sẽ xem xét hàm số \( f(x) = 2x^2 + 3x + 10 \). Hàm này là một parabol hướng lên vì hệ số của \( x^2 \) dương.

Để tìm giá trị nhỏ nhất của hàm bậc 2 này, ta sử dụng công thức tọa độ đỉnh:

\[
x_{min} = -\frac{b}{2a}
\]

Với \( a = 2 \) và \( b = 3 \):

\[
x_{min} = -\frac{3}{2 \cdot 2} = -\frac{3}{4}
\]

Bây giờ ta tính giá trị của \( f \) tại \( x = -\frac{3}{4} \):

\[
f\left(-\frac{3}{4}\right) = 2\left(-\frac{3}{4}\right)^2 + 3\left(-\frac{3}{4}\right) + 10
\]
\[
= 2 \cdot \frac{9}{16} - \frac{9}{4} + 10
\]
\[
= \frac{18}{16} - \frac{36}{16} + \frac{160}{16}
\]
\[
= \frac{18 - 36 + 160}{16} = \frac{142}{16} = \frac{71}{8}
\]

Vậy giá trị nhỏ nhất của \( 2x^2 + 3x + 10 \) là \( \frac{71}{8} \).

Bây giờ ta thay vào công thức phân thức \( A \):

\[
A_{max} = \frac{5}{\frac{71}{8}} = 5 \cdot \frac{8}{71} = \frac{40}{71}
\]

Do đó, giá trị lớn nhất của phân thức \( A \) là:

\[
\boxed{\frac{40}{71}}
\]