Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 6 cm; AC = 8 cm. Đường cao AH và phân giác BD cắt nhau tại I (H∈ BC và D∈ AC)

Để giải bài toán, ta sẽ tiến hành từng bước một:

### a) Chứng minh rằng: ∆ABC ~ ∆AHB
Tam giác ABC vuông tại A, với AB = 6 cm và AC = 8 cm.
Do đó chiều dài cạnh BC có thể tính được bằng định lý Pythagore:

\[
BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \, \text{cm}
\]

Xét tam giác AHB, với H là hình chiếu của A lên cạnh BC. Do ∆ABC là tam giác vuông tại A, ta có:

- ∠BAH = 90°
- ∠AHB = ∠CBA (cùng nội tiếp trong vòng tròn).

Vì vậy, ba cặp cạnh và góc tương ứng đều có cùng tỉ lệ, với:

\[
\Delta ABC \sim \Delta AHB.
\]

### b) Tính độ dài đoạn AD, DC
Để tìm AD và DC, ta sử dụng tính đối xứng của đường cao và hệ số chia đoạn AC thành hai phần.

Sử dụng tỷ lệ giữa các cạnh trong tam giác vuông. Do đường cao AH chia cạnh BC thành hai đoạn tỷ lệ thuận với các cạnh kề (AB và AC):

\[
\frac{BH}{HC} = \frac{AB}{AC} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}.
\]

Giả sử BH = 3k và HC = 4k cho một trị số k nào đó.

Ta có:

\[
BC = BH + HC = 3k + 4k = 7k \implies 10 = 7k \implies k = \frac{10}{7}.
\]

Do đó:

\[
BH = 3k = 3 \cdot \frac{10}{7} = \frac{30}{7} \approx 4.29 \, \text{cm},
\]

\[
HC = 4k = 4 \cdot \frac{10}{7} = \frac{40}{7} \approx 5.71 \, \text{cm}.
\]

Tiếp theo, để tính độ dài đoạn AD và DC:

- Đoạn AD = AH = \(\frac{AB \cdot AC}{BC} = \frac{6 \cdot 8}{10} = 4.8 \, \text{cm}\).

Do đó:
\[
AC = AD + DC = 8 \implies AD + DC = 8 \implies DC = 8 - AD = 8 - 4.8 = 3.2 \, \text{cm}.
\]

### c) CMR: IH/IA = AD/DC
Theo định lý phân giác, ta có:

\[
\frac{AD}{DC} = \frac{AB}{AC} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}.
\]

Xét tam giác HIA, điểm I nằm trên phân giác BD nên ta có:

\[
\frac{IH}{IA} = \frac{AD}{DC}.
\]

Do đó:

\[
\frac{IH}{IA} = \frac{AD}{DC} = \frac{3}{4}.
\]

Do vậy, ta đã chứng minh rằng:

\[
\frac{IH}{IA} = \frac{AD}{DC},
\]

Như vậy, các yêu cầu của bài toán đã được chứng minh và tính toán.