Để giải hệ bất phương trình \( \frac{x}{2} + \frac{y}{3} \leq 10 \) và tìm số nghiệm không âm, chúng ta sẽ làm theo các bước sau:

### Bước 1: Chuyển đổi bất phương trình
Đầu tiên, nhân cả hai vế của bất phương trình với 6 (để làm cho tất cả các hệ số trở thành số nguyên):

\[
6 \left( \frac{x}{2} + \frac{y}{3} \right) \leq 6 \cdot 10
\]

Khi đó, chúng ta có:

\[
3x + 2y \leq 60
\]

### Bước 2: Biểu diễn biểu thức
Chúng ta có thể viết bất phương trình này dưới dạng:

\[
2y \leq 60 - 3x
\]

Hoặc:

\[
y \leq \frac{60 - 3x}{2}
\]

### Bước 3: Tìm giới hạn của x và y
Để tìm nghiệm không âm, chúng ta cần đảm bảo rằng \(x\) và \(y\) đều không âm, tức là \(x \geq 0\) và \(y \geq 0\).

**Giới hạn của \(x\)**:
- Khi \(y = 0\): \(3x \leq 60 \Rightarrow x \leq 20\).
- Khi \(y \geq 0\), điều kiện trên cho chúng ta rằng \(x\) có thể nhận giá trị từ 0 đến 20.

**Giới hạn của \(y\)**:
- Từ bất phương trình \(y \leq \frac{60 - 3x}{2}\), với điều kiện \(60 - 3x \geq 0\) để có nghiệm không âm cho \(y\):
\[
60 - 3x \geq 0 \Rightarrow x \leq 20
\]
- Khi \(x = 0\): \(y \leq 30\).

Bất phương trình giới hạn \(y\) sẽ nằm trong miền giới hạn từ 0 đến \(\frac{60 - 3x}{2}\).

### Bước 4: Tính số nghiệm không âm
Để đếm số nghiệm không âm của \(x\) và \(y\), ta xét cho mọi giá trị của \(x\) từ 0 đến 20.

- Cho mỗi giá trị \(x\), \(y\) có thể nhận giá trị từ 0 đến \(\frac{60 - 3x}{2}\).
- Số lượng giá trị nguyên không âm mà \(y\) có thể nhận là
\[
y_{\text{max}} = \left\lfloor \frac{60 - 3x}{2} \right\rfloor + 1
\]

Ta sẽ tổng hợp số nghiệm không âm cho từng giá trị \(x\):

- \(x = 0\): \(y \leq \frac{60 - 3 \cdot 0}{2} = \frac{60}{2} = 30 \Rightarrow 31\) nghiệm.
- \(x = 1\): \(y \leq \frac{60 - 3 \cdot 1}{2} = \frac{57}{2} = 28.5 \Rightarrow 29\) nghiệm.
- \(x = 2\): \(y \leq \frac{60 - 3 \cdot 2}{2} = \frac{54}{2} = 27 \Rightarrow 28\) nghiệm.
- ...
- \(x = 20\): \(y \leq \frac{60 - 3 \cdot 20}{2} = \frac{0}{2} = 0 \Rightarrow 1\) nghiệm.

### Tính tổng:

Ta có:

\[
S = 31 + 29 + 28 + 26 + \ldots + 1
\]

Biểu thức này là một cấp số cộng với số hạng đầu \(a_1 = 31\), số hạng cuối \(a_n = 1\), số hạng \(n = 31\):

Tổng số hạng \(n\) sẽ được tính bằng công thức:

\[
S = \frac{n}{2} (a_1 + a_n) = \frac{31}{2} (31 + 1) = \frac{31}{2} \cdot 32 = 496
\]

### Kết luận
Tổng số nghiệm không âm của bất phương trình \( \frac{x}{2}+ \frac{y}{3} \leq 10 \) là \( \boxed{496} \).