h) 9x+2=y^2+y 
<=> 9x = y^2 + y - 2 
<=> 9x = (y-1)(y+2) (*) 
Do đó (y-1)(y+2) chia hết cho 9 => ít nhất 1 trong 2 số y-1 và y+2 chia hết cho 3. 
Ta lại thấy (y+2) - (y-1) = 3 do đó cả y-1 và y+2 đều chia hết cho 3. 
Đặt y -1 = 3k + 1 ( với k thuộc Z ) 
(*) <=> 9x = 3k.3(k+1) = 9k(k+1) 
<=> x = k(k+1) 
Vậy nghiệm của PT là x = k(k+1); y = 3k+1 với k thuộc Z.

b) xy-3x+5y=22 
=>x(y-3)+5y=22
=>x(y-3)+5(y-3)+15=22
=>x(y-3)+5(y-3)=7
=>(y-3)(x+5)=7
=>ta có :
y-3=1 ; x+5 =7  => y=4; x=2
y-3=7 ; x+5 =1  => y=10;x=-4
y-3=-1 ; x+5 =-7 =>y=2 ; x=-12
y-3=-7 ; x+5 =-1 => y=-4 ; x=-6

k) 11x+18y=120
x=(120−18y)/11=11−y−(7y+1)/11 
Vì x∈Z => 7y+1=11u (u∈Z)=>y=(11u−1)/7=2u−1−3(u−2)/7
Mà u∈Z (3,7)=1
=>u=7t+2(t∈Z)=>y=11t+3=>x=6−18t

h) 9x+2=y^2+y
9x+2=y^2+y
<=> 9x = y^2 + y - 2
<=> 9x = (y-1)(y+2) (*)
Do đó (y-1)(y+2) chia hết cho 9 => ít nhất 1 trong 2 số y-1 và y+2 chia hết cho 3.
Ta lại thấy (y+2) - (y-1) = 3 do đó cả y-1 và y+2 đều chia hết cho 3.

Đặt y -1 = 3k + 1 ( với k thuộc Z )
(*) <=> 9x = 3k.3(k+1) = 9k(k+1)
<=> x = k(k+1)
Vậy nghiệm của PT là x = k(k+1); y = 3k+1 với k thuộc Z.

h) 9x+2=y^2+y 
y² + y - ( 9x + 2) = 0 
Rút ra ▲ = 1 + 4( 9x + 2) 
▲ = 1 + 36x + 8 
▲ = 36x + 9 
▲ = 9 ( 4x + 1) 
Để pt có nghiệm nguyên thì ▲ là số chính phương 
=> 4x + 1 là scp 
Đặt 4x + 1 = k² ( k thuộc Z) 
=> x = (k² - 1)/4 
Thay vào pt đầu bài: 
9/4 . (k² - 1) + 2 = y² + y 
9( k² - 1) + 8 = 4y² + 4y 
9k² - 9 + 8 = 4y² + 4y 
9k² -1 + 1 = 4y² + 4y + 1 
9k² = ( 2y + 1)² 
2y + 1 = 3k 
y = (3k - 1)/2 

Vậy pt có nghiệm: x = (k² - 1)/4 
y = (3k - 1)/2 
Với k thuộc Z

c) 3xy-x-y=1      
(3y-1)x=1+y
=> x= (1+y)/ (3y-1)
Với mọi y > 0 ta có  0< 1+y<3y-1
=> 0 <(1+y)/ (3y-1)<1
Phương trình này vô nghiệm với y>0 và y thuộc Z
Với y< 0 , y thuộc Z ta có:  0 ≥ y+1>3y+1
=> 0 < y+1 / 3y +1
=> y=-1 -> x=0 là N0
Với y=0 ta có x=1
Vậy nghiệm phương trình là (x;y)= (0;-1); (1;0)

d) x^2-2x=y^2 +2    
⇔x^2−2x+1−y^2=3
⇔(x−1)^2−y^2=3
⇔(x+y−1)(x−y−1)=3
Ta có :
​x+y-1 = 1; x−y−1=3 =>  x=2, y=-2
x+y-1 = 3; x−y−1=1 =>  x=3, y=1
x+y-1 =-1; x−y−1=-3=>  x=-1, y=1
x+y-1 =-3; x−y−1=-1=>  x=-1, y=-1

j)7(x−y)+4y=2xy
⇔7x−3y−2xy=0
⇔14x−4xy+21−6y=21
⇔2x(7−2y)+3(7−2y)=21
⇔(7−2y)(2x+3)=21
Ta có :
​7−2y=1; 2x+3=21     => y=3, x=9
7−2y=21; 2x+3=1     => y=-7,x=-1
7−2y=-1;  2x+3=-21  => y=4,x=-12
7−2y=-21;2x+3=-1    => y=14,x=-2
7−2y=3;   2x+3=7     => y=2,x=2
7−2y=7;   2x+3=3     => y=0,x=0
7−2y=-3;  2x+3=-7    => y=5,x=-5
7−2y=-7;  2x+3=-3    => y=7,x=-3

​k)11x+18y=120
⇔11x=120−18y=6(20−3y) ⋮ 6
⇒x ⋮ 6. Đặt x=6k (k∈Z)
⇒11k+3y=20⇔y=(20−11k)/3=7−4k+(k−1)/3
Đặt k−13=t (t∈Z)⇒k=3t+1
⇒y=7−4(3t+1)+t=3−11t;x=6k=6(3t+1)=18t+6
Vậy nghiệm nguyên của pt là (18t+6;3−11t) với t∈Z

f) 4xy-3(x+y)=5
⇔16xy−12x−12y=20
⇔4x(4y−3)−3(4y−3)=29
⇔(4x−3)(4y−3)=29
4x-3=29 ;  4y−3=1    =>x=8,   y=1    (loại)
4x-3=1      4y−3=29  =>x=1,   y=8    (loại)
4x-3=-1     4y−3=-29 =>x=1/2 , y=-6,5 (loại)
4x-3=-29   4y−3=-1   =>x=-6,5, y=1/2 (loại)
Vậy không có cặp (x;y) nào thỏa mãn

Giải hộ bài toán : Cho 3x^2 = 2xy + y^2 . tính 5xy/ y^2 - 2xy - 12x^2