a, Theo đề bài

Ta có:

a³ + b³ = 2 > 0 ⇒ a³ > – b³ ⇒ a > –b ⇒ a + b > 0 (1)

Nhân cả 2 vế của (1) với (a – b)² ≥ 0 ∀ a,b ta được:

(a + b)(a – b)² ∀ 0

⇔ (a² – b²)(a – b) ≥ 0

⇔ a³ – a²b – ab² + b³ ≥ 0

⇔ a³ + b³ ≥ ab(a + b)

⇔ 3(a³ + b³ ) ≥ 3ab(a + b)

⇔ 4(a³ + b³ ) ≥ a³ + b³ + 3ab(a + b)

⇔ 4(a³ + b³ ) ≥ (a + b)³

⇔ (a + b)³ ≤ 8

⇔ a + b ≤ 2 (2)

Từ (1) và (2) ta có điều phải chứng minh

b, Ta có:

Ta lại có:

, dấu bằng xảy ra khi y = 2x

, dấu bằng xảy ra khi z = 4x

, dấu bằng xảy ra khi z = 2y

Vậy  khi 

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 49/16