Đặt \(t = {\log _3}\left( {{3^x} + 2m} \right) = {\log _5}\left( {{3^x} - {m^2}} \right).\)

Ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{3^x} + 2m = {3^t}}\\{{3^x} - {m^2} = {5^t}}\end{array} \Rightarrow 2m + {m^2} = {3^t} - {5^t}} \right.\)\( \Rightarrow {\left( {m + 1} \right)^2} = {3^t} - {5^t} + 1\)

Xét hàm số \(f\left( t \right) = {3^t} - {5^t} + 1.\)

Ta có: \(f'\left( t \right) = {3^t}\ln 3 - {5^t}\ln 5 = 0 \Leftrightarrow t = {\log _{\frac{3}{5}}}\left( {{{\log }_3}5} \right) = {t_0}\).

\(\mathop {\lim }\limits_{t \to  - \infty } f\left( t \right) = 1\,,\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } f\left( t \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } {5^t}\left[ {{{\left( {\frac{3}{5}} \right)}^t} - 1 + \frac{1}{{{5^t}}}} \right] =  - \infty \).

Bảng biến thiên

Từ BBT suy ra phương trình \((*)\) có nghiệm khi và chỉ khi

\({\left( {m + 1} \right)^2} \le f\left( \right) \Leftrightarrow  - \sqrt {f\left( \right)}  - 1 \le m \le \sqrt {f\left( \right)}  + 1\)\( \Leftrightarrow  - 2,0675 \ldots  \le m \le 0,0675 \ldots \)

Mà \(m \in \mathbb{Z}\) nên \[m \in \left\{ { - 2\,;\,\, - 1\,;\,\,0} \right\}\].

Vậy có 3 giá trị nguyên của tham số \[m.\]

Đáp án: 3.