Mặt cầu \((S)\) có \[I\left( {1\,;\,\, - 2\,;\,\,3} \right)\], bán kính \(R = 5.\)

Vì \(M \in Oy\) nên \(M\left( {0\,;\,\,m\,;\,\,0} \right).\)

Gọi \((P)\) là mặt phẳng đi qua \(M\) và vuông góc với đường thẳng \(d\)

Do đó, phương trình mặt phẳng \((P)\) là \(3x + 5y - 4z - 5m = 0.\)

Khi đó \((P)\) chứa hai tiếp tuyến với mặt cầu kẻ từ \(M\) và cùng vuông góc với d.

Để tồn tại các tiếp tuyến thoả mãn bài toán điểu kiện là

\(\left\{ \begin{array}{l}d\left( {I,\,\,\left( P \right)} \right) < R\\IM > R\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{{\left| { - 19 - 5m} \right|}}{{5\sqrt 2 }} < 5\\\sqrt {{{\left( {m + 2} \right)}^2} + 10}  > 5\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left| {5m + 19} \right| < 25\sqrt 2 \\{\left( {m + 2} \right)^2} > 15\end{array} \right.\)

\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{{ - 25\sqrt 2  - 19}}{5} < m < \frac{{25\sqrt 2  - 19}}{5}\\\left[ \begin{array}{l}m > \sqrt {15}  - 2\\m <  - \sqrt {15}  - 2\end{array} \right.\end{array} \right.\]\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sqrt {15}  - 2 < m < \frac{{25\sqrt 2  - 19}}{5}\\\frac{{ - 25\sqrt 2  - 19}}{5} < m <  - \sqrt {15}  - 2\end{array} \right.\).

Vì \(m\) là số nguyên nên \[m \in \left\{ {2\,;\,\,3\,;\,\, - 10\,;\,\, \ldots \,;\,\, - 6} \right\}.\]

Vậy có 7 giá trị nguyên của \(m\) thoả mãn bài toán.

Đáp án: 7.