P = 2(x³ + y³) − 3xy = 2(x + y)(x² − xy + y²) − 3xy

= 2(x + y)(2 − xy) − 3xy

Đặt t = x + y Þ t² = x² + y² + 2xy = 2 + 2xy

⇔xy=t2−22

Vì (x + y)² ≥ 4xy Û t² ≥ 2(t² − 2)

Û t² − 4 £ 0 Û −2 £ t £ 2

Khi đó ta có:

P=2t2−t2−22−3 . t2−22, t∈−2; 2

 =4t−t3+2t−32t2+3

 =−t3−32t2+6t+3=ft

Xét hàm số  ft=−t3−32t2+6t+3 trên [−2; 2] ta có:

f't=−3t2−3t+6=0⇔t=1∈−2; 2t=−2∈−2; 2

Ta tính được:  f−2=−7; f1=132; f2=1

Suy ra  max−2; 2ft=f1=132=maxP và  min−2; 2ft=f−2=−7=minP

Vậy  M+m=132+−7=−12.