Xét ΔAED và ΔDCF ta có:

AD = CD (vì ABCD la hình vuông)  

AE=CF ( gt)

\[\widehat {DEA} = \widehat {DCF} = 90^\circ \]

Suy ra ΔAED = ΔCFD (cạnh – góc – cạnh)

Do đó DE=DF (1)

và \[\widehat {ADE} = \widehat {CDF}\]

Suy ra \[\widehat {EDC} + \widehat {CDF} = \widehat {ADE} + \widehat {EDC}\]

Hay \[\widehat {EDF} = \widehat {ADC} = 90^\circ \]   (2)

Từ (1) và (2) suy ra ΔDEF vuông cân tại D.

Mà I là trung điểm của EF nên DI là đường trung tuyến ứng với EF.

Suy ra \[DI = IE = IF = \frac{1}{2}EF\](định lý đường trung tuyến trong tam giác vuông) (3)

Xét ΔBEF vuông tại B có BI là đường trung tuyến ứng với EF.

Suy ra \[BI = IE = IF = \frac{1}{2}EF\](định lý đường trung tuyến trong tam giác vuông) (4)

Từ (3) và (4) ta có DI = BI.

Vậy DI = BI.