Xác định số nguyên dương a nhỏ nhất sao cho giá trị của biểu thức A + 2020 là một số lập phương và là bội số của 56

Để tìm số nguyên dương \( a \) nhỏ nhất sao cho \( A + 2020 \) là một số lập phương và là bội số của 56, trước tiên chúng ta cần xác định điều kiện cho \( A + 2020 \).

Gọi \( n = A + 2020 \). Ta cần tìm \( n \) sao cho:
1. \( n \) là một số lập phương, tức là \( n = k^3 \) với \( k \) là một số nguyên.
2. \( n \equiv 0 \mod 56 \).

Ta biết rằng \( 56 = 7 \times 8 \), do đó, \( n \) cần chia hết cho cả 7 và 8.

### Bước 1: Tìm các bội số của 56 dưới dạng lập phương.

Ta sẽ tìm các số lập phương từ \( 1 \) đến một giá trị nào đó và kiểm tra nếu nó có chia hết cho 56 hay không.

Giả sử \( k \) là số nguyên dương, ta có \( n = k^3 \). Chúng ta sẽ kiểm tra các số lập phương:
- \( k = 1 \): \( n = 1^3 = 1 \) (không chia hết cho 56)
- \( k = 2 \): \( n = 2^3 = 8 \) (không chia hết cho 56)
- \( k = 3 \): \( n = 3^3 = 27 \) (không chia hết cho 56)
- \( k = 4 \): \( n = 4^3 = 64 \) (chia hết cho 56)
- \( k = 5 \): \( n = 5^3 = 125 \) (không chia hết cho 56)
- \( k = 6 \): \( n = 6^3 = 216 \) (không chia hết cho 56)
- \( k = 7 \): \( n = 7^3 = 343 \) (không chia hết cho 56)
- \( k = 8 \): \( n = 8^3 = 512 \) (không chia hết cho 56)
- \( k = 9 \): \( n = 9^3 = 729 \) (không chia hết cho 56)
- \( k = 10 \): \( n = 10^3 = 1000 \) (không chia hết cho 56)
- \( k = 11 \): \( n = 11^3 = 1331 \) (không chia hết cho 56)
- \( k = 12 \): \( n = 12^3 = 1728 \) (chia hết cho 56)

Như vậy, chúng ta tìm được các số lập phương chia hết cho 56 là \( n = 64 \) và \( n = 1728 \).

### Bước 2: Tính \( a \).

Giờ chúng ta xác định \( A \) từ hai giá trị \( n \):
1. Với \( n = 64 \):
\[
A = n - 2020 = 64 - 2020 = -1956 \quad (\text{không phải số nguyên dương})
\]

2. Với \( n = 1728 \):
\[
A = n - 2020 = 1728 - 2020 = -292 \quad (\text{không phải số nguyên dương})
\]

### Bước 3: Tìm thêm các số lập phương lớn hơn.

Ta tiếp tục kiểm tra các hình lập phương lớn hơn cho đến khi tìm được giá trị dương:
- \( k = 13 \): \( n = 13^3 = 2197 \)
\[
A = n - 2020 = 2197 - 2020 = 177 \quad (\text{số nguyên dương})
\]
- \( k = 14 \): \( n = 14^3 = 2744 \)
\[
A = n - 2020 = 2744 - 2020 = 724 \quad (\text{số nguyên dương})
\]

Trong đó, giá trị nhỏ nhất của \( a \) là từ \( k = 13 \):
\[
\text{Số nguyên dương } a \text{ nhỏ nhất là } 177.
\]

Vậy kết quả:
\[
\boxed{177}
\]