Để tìm giá trị nguyên dương của \( x \) và \( y \) thỏa mãn phương trình:

\[
\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{5}
\]

Ta có thể biến đổi phương trình như sau:

\[
\frac{y + x}{xy} = \frac{1}{5}
\]

Khi đó, nhân chéo hai vế, ta được:

\[
5(y + x) = xy
\]

Chuyển các hạng tử về một phía:

\[
xy - 5x - 5y = 0
\]

Bây giờ, ta thêm 25 vào cả hai vế để có thể sử dụng công thức bình phương hoàn thành:

\[
xy - 5x - 5y + 25 = 25
\]

Ta có thể biểu diễn phương trình dưới dạng:

\[
(x - 5)(y - 5) = 25
\]

Giá trị \( 25 \) có các cặp ước số nguyên dương như sau:

1. \( 1 \times 25 \)
2. \( 5 \times 5 \)
3. \( 25 \times 1 \)

Ta sẽ giải cho từng cặp:

1. **Cặp \( (1, 25) \):**
\[
x - 5 = 1 \implies x = 6
\]
\[
y - 5 = 25 \implies y = 30
\]

2. **Cặp \( (5, 5) \):**
\[
x - 5 = 5 \implies x = 10
\]
\[
y - 5 = 5 \implies y = 10
\]

3. **Cặp \( (25, 1) \):**
\[
x - 5 = 25 \implies x = 30
\]
\[
y - 5 = 1 \implies y = 6
\]

Tóm lại, các cặp giá trị nguyên dương \( (x, y) \) thỏa mãn phương trình ban đầu là:

- \( (6, 30) \)
- \( (10, 10) \)
- \( (30, 6) \)

Các giá trị này đều thỏa mãn điều kiện là nguyên dương.