Để giải bài toán này, ta có thể sử dụng công thức đệ quy hoặc công thức tổng quát cho số thành viên trong câu lạc bộ.

1. **Xác định số thành viên**:
- Ban đầu (tháng 0): \( N(0) = 1 \)
- Sau mỗi tháng, mỗi thành viên sẽ thêm 2 thành viên mới.

2. **Tính số thành viên qua các tháng**:
- Sau tháng đầu (tháng 1):
- Thành viên cũ (1) tìm thêm 2 thành viên mới:
- \( N(1) = 1 + 2 = 3 \)
- Sau tháng thứ hai (tháng 2):
- 3 thành viên (cũ và mới) tìm thêm 2 thành viên mỗi người:
- \( N(2) = 3 + 3 \times 2 = 9 \)
- Sau tháng thứ ba (tháng 3):
- \( N(3) = 9 + 9 \times 2 = 27 \)
- Sau tháng thứ tư (tháng 4):
- \( N(4) = 27 + 27 \times 2 = 81 \)
- Sau tháng thứ năm (tháng 5):
- \( N(5) = 81 + 81 \times 2 = 243 \)
- Sau tháng thứ sáu (tháng 6):
- \( N(6) = 243 + 243 \times 2 = 729 \)

3. **Tính tiếp cho 12 tháng**:
- Sau tháng thứ bảy (tháng 7):
- \( N(7) = 729 + 729 \times 2 = 2187 \)
- Sau tháng thứ tám (tháng 8):
- \( N(8) = 2187 + 2187 \times 2 = 6561 \)
- Sau tháng thứ chín (tháng 9):
- \( N(9) = 6561 + 6561 \times 2 = 19683 \)
- Sau tháng thứ mười (tháng 10):
- \( N(10) = 19683 + 19683 \times 2 = 59049 \)
- Sau tháng thứ mười một (tháng 11):
- \( N(11) = 59049 + 59049 \times 2 = 177147 \)
- Sau tháng thứ mười hai (tháng 12):
- \( N(12) = 177147 + 177147 \times 2 = 531441 \)

**Kết quả**:
a) Sau 6 tháng: **729 thành viên**
b) Sau 12 tháng: **531441 thành viên**