Để giải hệ phương trình sau:

\[
\begin{cases}
\frac{1}{2} x + \frac{2}{3} y = 7 \\
-\frac{5}{3} x - \frac{3}{2} y = 1
\end{cases}
\]

ta sẽ thực hiện các bước sau:

### Bước 1: Đưa các phương trình về dạng chuẩn

Để dễ dàng hơn trong việc thực hiện phép tính, ta nhân các phương trình với 6 (bội của mẫu số) để loại bỏ phân số:

1. Nhân phương trình đầu tiên với 6:
\[
3x + 4y = 42
\]

2. Nhân phương trình thứ hai với 6:
\[
-10x - 9y = 6
\]

Giờ ta có hệ phương trình mới:
\[
\begin{cases}
3x + 4y = 42 \\
-10x - 9y = 6
\end{cases}
\]

### Bước 2: Giải phương trình

Ta sẽ sử dụng phương pháp thế hoặc cộng đại số. Ở đây, ta dùng phương pháp thế:

Từ phương trình đầu tiên, ta có:
\[
4y = 42 - 3x \implies y = \frac{42 - 3x}{4}
\]

Thay giá trị \(y\) vào phương trình thứ hai:
\[
-10x - 9\left(\frac{42 - 3x}{4}\right) = 6
\]

### Bước 3: Giải phương trình để tìm x

Giải phương trình trên:
\[
-10x - \frac{378 - 27x}{4} = 6
\]

Nhân toàn bộ phương trình với 4 để loại bỏ mẫu số:
\[
-40x - (378 - 27x) = 24
\]
\[
-40x - 378 + 27x = 24
\]
\[
-13x - 378 = 24
\]
\[
-13x = 24 + 378
\]
\[
-13x = 402
\]
\[
x = -\frac{402}{13} = -30.92307692 \approx -30.92
\]

### Bước 4: Tìm giá trị y

Sử dụng giá trị \(x\) để đi tìm \(y\):
\[
y = \frac{42 - 3(-30.92)}{4} = \frac{42 + 92.76}{4} = \frac{134.76}{4} = 33.69
\]

### Kết quả cuối cùng

Giá trị của \(x\) và \(y\) là:
\[
x \approx -30.92, \quad y \approx 33.69
\]