Để giải hệ phương trình sau:

\[
\begin{cases}
(x + y)(x - 1) = (x - y)(x + 1) + 2(xy + 1) \\
(y - x)(y + 1) = (y + x)(y - 2) - 2xy
\end{cases}
\]

Ta sẽ xử lý từng phương trình.

### Phương trình đầu tiên

1. Mở rộng hai vế của phương trình đầu tiên:
\[
(x + y)(x - 1) = x^2 + xy - x - y
\]
\[
(x - y)(x + 1) + 2(xy + 1) = (x^2 - yx + x - y) + 2xy + 2
\]
\[
= x^2 + xy + x - y + 2
\]

2. So sánh và rút gọn:
\[
x^2 + xy - x - y = x^2 + xy + x - y + 2
\]
Rút gọn ta được:
\[
-x = x + 2 \implies -2x = 2 \implies x = -1
\]

### Phương trình thứ hai

3. Thay \( x = -1 \) vào phương trình thứ hai:
\[
(y - (-1))(y + 1) = (y + (-1))(y - 2) - 2(-1)y
\]
\[
(y + 1)(y + 1) = (y - 1)(y - 2) + 2y
\]
\[
(y + 1)^2 = y^2 - 3y + 2 + 2y
\]
\[
y^2 + 2y + 1 = y^2 - y + 2
\]
4. Rút gọn và giải phương trình:
\[
2y + 1 = -y + 2 \implies 3y = 1 \implies y = \frac{1}{3}
\]

### Kết quả

Vậy nghiệm của hệ phương trình là:
\[
\boxed{(x, y) = \left(-1, \frac{1}{3}\right)}
\]