Để giải phương trình \( 54x^3 + 1 = y^3 \), chúng ta có thể viết lại như sau:

\[
y^3 - 1 = 54x^3
\]

Phương trình trên có thể được biến đổi thành:

\[
(y - 1)(y^2 + y + 1) = 54x^3
\]

Từ đây, ta thấy rằng \( (y - 1)(y^2 + y + 1) \) phải chia hết cho \( 54 \). Để tìm các cặp nguyên \( (x, y) \) thỏa mãn phương trình, ta có thể thử một số giá trị nguyên cho \( x \) và tính giá trị tương ứng của \( y \).

### Thử một vài giá trị của \( x \):

1. **Khi \( x = 0 \)**:
\[
54 \cdot 0^3 + 1 = 1 \quad \Rightarrow \quad y^3 = 1 \quad \Rightarrow \quad y = 1
\]
=> Cặp \( (0, 1) \).

2. **Khi \( x = 1 \)**:
\[
54 \cdot 1^3 + 1 = 55 \quad \Rightarrow \quad y^3 = 55 \quad \Rightarrow \quad y \approx 3.83 \quad (y \text{ không nguyên})
\]

3. **Khi \( x = -1 \)**:
\[
54 \cdot (-1)^3 + 1 = -53 \quad \Rightarrow \quad y^3 = -53 \quad \Rightarrow \quad y \approx -3.78 \quad (y \text{ không nguyên})
\]

4. **Khi \( x = 2 \)**:
\[
54 \cdot 2^3 + 1 = 433 \quad \Rightarrow \quad y^3 = 433 \quad \Rightarrow \quad y \approx 7.56 \quad (y \text{ không nguyên})
\]

5. **Khi \( x = -2 \)**:
\[
54 \cdot (-2)^3 + 1 = -431 \quad \Rightarrow \quad y^3 = -431 \quad \Rightarrow \quad y \approx -7.57 \quad (y \text{ không nguyên})
\]

### Kết luận:
Cho đến nay, chúng ta đã tìm thấy cặp duy nhất \( (0, 1) \) thỏa mãn phương trình. Tiếp tục kiểm tra các giá trị nguyên của \( x \) lớn hơn hoặc nhỏ hơn để tìm thêm cặp nguyên thoả mãn, nhưng theo phương pháp đã thực hiện, có thể rất khó tìm thêm.

Tóm lại, cặp \( (0, 1) \) là cặp duy nhất mà ta đã tìm được. Bạn có thể kiểm tra thêm các giá trị khác, nhưng chủ yếu các điều kiện dẫn đến việc giá trị \( y \) thường không là số nguyên.