Cho tam giác ABC cân tại A, M là một điểm nằm trên BC sao cho MB < MC. I là một điểm trên đoạn AM. Trên nửa mặt phẳng bờ AC, không chứa điểm B, vẽ tia Ax sao cho góc CAx bằng góc BAM. N là một điểm trên Ax sao cho AN = AI

Để chứng minh hai phần yêu cầu trong bài toán, chúng ta sẽ sử dụng một số tính chất của tam giác cân và vài tính chất về góc.

### Phần b: chứng minh góc \( NIC < góc INC \)

1. **Xét các góc**: Ta có \( \angle CAx = \angle BAM \).
- Điều này có nghĩa là tia \( Ax \) được vẽ sao cho tạo ra một góc bằng với góc \( BAM \).
- Tia \( Ax \) ở phía trên cạnh \( AC \) và \( I \) nằm giữa \( A \) và \( M \), do đó điểm \( N \) nằm trên tia \( Ax \).

2. **Xét tam giác**:
- Tam giác \( AIC \) và \( BAI \) là hai tam giác trong đó \( A \) là đỉnh chung.
- Do tính chất của tam giác cân \( ABC \), ta có \( AB = AC \) và \( \angle AIB = \angle AIC + \angle BAI \).

3. **Xét vị trí của các điểm**:
- Điểm \( N \) nằm giữa \( A \) và \( I \), do đó góc \( NIC \) sẽ nhỏ hơn góc \( INC \) vì điểm \( I \) gần với \( A \) hơn và \( N \) gần với \( I \).

Từ các lý do trên, ta có \( \angle NIC < \angle INC \).

### Phần c: chứng minh góc \( AIC < góc AIB \)

1. **Sử dụng tổng của các góc**:
- Từ phần b, ta có \( \angle AIB = \angle AIC + \angle BAI \).

2. **Xét góc \( BAI \)**:
- Vì điểm \( M \) nằm trên \( BC \) với \( MB < MC \), nên \( \angle BAI \) là một góc dương nhỏ (không bằng 0).
- Do đó, \( \angle AIB > \angle AIC \).

3. **Kết luận**:
- Từ bước 1 và 2, ta có \( \angle AIC < \angle AIB \).

Qua các bước chứng minh trên, chúng ta có thể khẳng định rằng:

- \( \angle NIC < \angle INC \)
- \( \angle AIC < \angle AIB \)

Đó là kết luận cho bài toán. Hy vọng các bước giải này có thể giúp ích cho bạn trong việc hiểu và chứng minh yêu cầu bài toán.