Để chứng minh tứ giác \( ADHE \) là hình chữ nhật và \( AD = AE \cdot AC \), ta sẽ làm theo các bước sau đây:

### 1. Chứng minh tứ giác \( ADHE \) là hình chữ nhật:

- Trong tam giác vuông \( ABC \) tại \( A \), đường cao \( AH \) chia tam giác thành hai tam giác vuông \( ABH \) và \( ACH \).
- Vì \( D \) là giao điểm của đường thẳng vuông góc với \( AB \) tại \( H \), ta có \( AD \perp AB \).
- Tương tự, \( E \) là giao điểm của đường thẳng vuông góc với \( AC \) tại \( H \), ta có \( AE \perp AC \).
- Do đó, \( AD \perp HE \) và \( AE \perp DH \).
- Vì \( AD \) và \( AE \) đều vuông góc với các cạnh của tam giác, ta suy ra rằng \( ADHE \) là hình chữ nhật.

### 2. Chứng minh \( AB = AE \) và \( AC = AD \):

- Từ định lý Pythagore trong tam giác vuông \( ABC \), ta có:
\[
AB^2 + AC^2 = BC^2
\]
- Do \( AD = AH \cdot \sin(B) \) và \( AE = AH \cdot \sin(C) \), suy ra rằng \( AD = AE \cdot AC \).

### 3. Kết luận:

Tứ giác \( ADHE \) là hình chữ nhật với \( AD = AE \cdot AC \). Để tứ giác này có diện tích lớn nhất, ta cần điều chỉnh chiều cao \( AH \) sao cho các cạnh vuông góc tạo ra tỷ lệ cân bằng giữa \( AB \) và \( AC \).

Nếu cần thêm thông tin hoặc có phần nào cụ thể hơn, bạn có thể hỏi thêm!