Cho tam giác ABC vuông tại A, vẽ đường cao AH. Tính độ dài các cạnh AC, AH và số đo góc B (làm tròn đến phút) nếu AB=3cm; BC=5cm

Bài toán yêu cầu tính toán các độ dài và tính chất hình học của tam giác vuông cũng như các hình liên quan.

**a)** Để tính độ dài cạnh AC, AH và số đo góc B của tam giác ABC vuông tại A với AB = 3 cm và BC = 5 cm, ta áp dụng định lý Pythagore.

1. Tính độ dài cạnh AC:
\[
AC^2 + AB^2 = BC^2 \implies AC^2 + 3^2 = 5^2
\]
\[
AC^2 + 9 = 25 \implies AC^2 = 16 \implies AC = 4 \text{ cm}
\]

2. Tính độ dài đường cao AH. Sử dụng công thức tính độ dài đường cao AH của tam giác vuông:
\[
AH = \frac{AB \cdot AC}{BC} = \frac{3 \cdot 4}{5} = \frac{12}{5} \text{ cm} = 2.4 \text{ cm}
\]

3. Tính số đo góc B:
\[
\sin B = \frac{AC}{BC} = \frac{4}{5} \implies B = \arcsin\left(\frac{4}{5}\right).
\]
Tính số đo góc B:
\[
B \approx 53.13^\circ \approx 53^\circ 8' \text{ (đến phút)}
\]

Vậy:
- AC = 4 cm
- AH = 2.4 cm
- B = 53° 8'

**b)** Để chứng minh tứ giác ADHE là hình chữ nhật, chúng ta cần chỉ ra rằng AD vuông góc với AB và AE vuông góc với AC.

1. H là chân đường cao, nên AH vuông góc với BC. Điều này cũng có nghĩa là AD vuông góc với AB do H là điểm trên BC.
2. Tương tự, AE vuông góc với AC do H là chân đường cao.
3. Do đó, ở mỗi góc AD và AE đều tạo thành góc vuông.

Từ đây, chúng ta suy ra:
- Tứ giác ADHE có bốn góc vuông nên là hình chữ nhật.

Tiếp theo, AD = AB = 3 cm và AE = AC = 4 cm.

Từ đây, chúng ta có thể khẳng định rằng tam giác ABC đồng dạng với tam giác AED.

**c)** Để chứng minh M là trung điểm của BC, ta kẻ AI vuông góc với DE.

1. Vì DE là một đoạn thẳng được dựng vuông góc với AC và AB, và AH vuông góc BC, thì AI cũng vuông góc với DE.
2. Do DE là đường trung bình của tam giác, M sẽ nằm trên đường thẳng BC, và từ tính chất của hình chữ nhật và đường trung bình, M phải chia BC thành hai đoạn bằng nhau.
3. Điều này chứng tỏ rằng M là trung điểm của BC.

Vậy, kết luận:
- M là trung điểm của BC.