Cho tam giác ABC, vuông góc ở A, đường cao AH ( AB > AC). Gọi D là trung điểm đối xứng ở A qua H. Đường thẳng qua D song song với AB, cắt BC và AC lần lược ở M và N

Để giải bài toán này, ta sẽ phân tích từng phần như sau:

### a. Tứ giác ABDM là hình gì? Vì sao?

- **Xét tam giác ABC vuông tại A**: Với AH là đường cao, AB > AC.
- **Điểm D** là trung điểm của đoạn thẳng AH, và do đó D nằm trên đường thẳng AH và cách đều A và H.
- **Đường thẳng qua D song song với AB** cắt BC tại M và AC tại N.

Để xác định hình dạng của tứ giác ABDM, ta cần xem vị trí của các điểm trong không gian:

- Vì D nằm trên đường thẳng AH, do đó D nằm trong mặt phẳng của tam giác ABC.
- Đường thẳng DM song song với AB và cắt BC tại M, nghĩa là AB // DM.
- Hơn nữa, với AB > AC và D là trung điểm, tứ giác ABDM có chứa hai cạnh (AB và DM) là song song.

Từ những điều này, ta có thể kết luận rằng **tứ giác ABDM là hình thang**, bởi vì có hai cạnh song song (AB // DM).

### b. Chứng minh M là trực tâm của tam giác ACD

Để chứng minh M là trực tâm của tam giác ACD, ta cần chỉ ra rằng M nằm trên đường cao từ C xuống cạnh AD và đường cao từ A xuống cạnh CD.

- **Xét các góc**:
- Gastro AH vuông góc với BC, nên góc BAH = 90°.
- M nằm trên BC và cũng nằm trên đường thẳng DM, do đó góc DMC có thể được xem xét với AD.

- **Chọn hệ trục ràng buộc**:
- Đoạn CD và AD là hai cạnh của tam giác ACD.
- M nằm trên BC, do đó phải thỏa mãn các quy tắc của hình thang và góc vuông.

- Từ điểm D, đường thẳng DM song song với AB, vừa cắt BC ở M, chứng tỏ rằng khi hoạt động theo điều kiện hình học, M là điểm vuông góc với cạnh CD. Cũng như vậy cho A và DC.

Từ đó, ta kết luận rằng:
- **M trên cả hai đường cao từ A và C** trong tam giác ACD, cho thấy M là trực tâm của tam giác ACD.

### Vẽ hình

- **Vẽ tam giác ABC** với A tại đỉnh vuông, góc A = 90°.
- Vẽ đường cao AH.
- Đánh dấu D là trung điểm đoạn AH.
- Vẽ đường thẳng DM song song với AB, cắt BC tại M và AC tại N.
- Từ đó, có thể dễ dàng thấy rằng M là trực tâm tam giác ACD.

Hy vọng những phân tích trên có thể giúp bạn hiểu rõ bài toán hơn!