Cho tam giác ABC, trung tuyến AM. Khi đó AB.AC = AM^2 - kBC^2. Vậy k =?

Để giải bài toán, ta cần sử dụng định lý về trung tuyến trong tam giác. Định lý này nói rằng trung tuyến chia tam giác thành các đoạn thẳng có tỉ lệ nhất định.

Giả sử \( M \) là trung điểm của cạnh \( BC \). Theo định lý trung tuyến, ta có:

\[
AM^2 = \frac{2AB^2 + 2AC^2 - BC^2}{4}
\]

Bây giờ, chúng ta sẽ thay vào biện luận mà đề bài đã cho:

\[
AB \cdot AC = AM^2 - k \cdot BC^2
\]

Thay \( AM^2 \) vào:

\[
AB \cdot AC = \frac{2AB^2 + 2AC^2 - BC^2}{4} - k \cdot BC^2
\]

Phân tích phương trình này để xác định giá trị của \( k \).

Chuyển hết các thành phần về một vế:

\[
4AB \cdot AC + (4k - 1)BC^2 - 2AB^2 - 2AC^2 = 0
\]

Từ đó, để thuận tiện, ta so sánh hệ số với \( BC^2 \) và không có \( BC^2 \). Ta thấy:

Từ hệ số tương ứng của \( BC^2 \):

\[
4k - 1 = 0 \implies 4k = 1 \implies k = \frac{1}{4}
\]

Vậy \( k = \frac{1}{4} \).