Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P

Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( P = \frac{x^3}{y} + \frac{y^3}{z} + \frac{z^3}{x} \) với điều kiện \( x^2 + y^2 + z^2 \geq 1 \), ta có thể áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz.

Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có:

\[
(x^2 + y^2 + z^2) \left( \frac{x^4}{y^2} + \frac{y^4}{z^2} + \frac{z^4}{x^2} \right) \geq (x^2 + y^2 + z^2)^2
\]

Từ đó suy ra:

\[
\frac{x^4}{y^2} + \frac{y^4}{z^2} + \frac{z^4}{x^2} \geq \frac{(x^2 + y^2 + z^2)^2}{x^2 + y^2 + z^2} = x^2 + y^2 + z^2
\]

Áp dụng vào các biểu thức của ta, chúng ta sẽ tìm thấy rằng:

\[
P \geq \frac{(x^2 + y^2 + z^2)^2}{x^2+y^2+z^2} = x^2 + y^2 + z^2
\]

Với điều kiện \( x^2 + y^2 + z^2 \geq 1 \), ta có:

\[
P \geq 1
\]

Giá trị nhỏ nhất của \( P \) là 1 đạt được khi \( x = y = z \) và \( x^2 + y^2 + z^2 = 1 \).

Vậy nên, giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( P \) là \( \boxed{1} \).