Xét tam giác ABC vuông tại A (AB

Để chứng minh rằng \( BM + CK = BC \cdot (\cos^3 + \sin^3) \), chúng ta sẽ làm theo các bước dưới đây.

### Bước 1: Đặt các thông số cần thiết

Ta có tam giác vuông \( ABC \) với \( A \) là đỉnh vuông, \( AB = c \), \( AC = b \), và \( AH = h \) là đường cao. Gọi \( BC = a \).

### Bước 2: Tính chiều dài các đoạn

1. Tính đoạn \( BM \):
- Vì \( M \) là hình chiếu của \( H \) lên \( AB \), nên \( MB = BH \).
- Áp dụng định lý Pythagoras cho tam giác \( ABH \):
\[
BH^2 + AH^2 = AB^2 \quad (1)
\]

2. Tính đoạn \( CK \):
- Tương tự với \( K \), \( CK = KH \).
- Áp dụng định lý Pythagoras cho tam giác \( ACH \):
\[
CH^2 + AH^2 = AC^2 \quad (2)
\]

### Bước 3: Thay chỗ trong các phương trình

Theo định lý Pythagoras, từ (1) và (2) có
\[
BH = \sqrt{AB^2 - AH^2} \quad \text{và} \quad CH = \sqrt{AC^2 - AH^2}
\]
Chúng ta sẽ biểu diễn \( AH \) theo các cạnh sao cho dễ thấy mối quan hệ.

### Bước 4: Tính tổng

Tính tổng đoạn \( BM + CK \):
\[
BM + CK = BH + CH = \sqrt{c^2 - h^2} + \sqrt{b^2 - h^2}
\]

### Bước 5: Áp dụng định lý vuông góc

Chúng ta có tỉ lệ giữa \( AH \), \( AL \) (phân chia của AH) như sau:
\[
\frac{AH}{AB} = \sin(B) = \frac{b}{a} \quad \text{và} \quad \frac{AH}{AC} = \sin(C) = \frac{c}{a}
\]
Từ đó, suy ra
\[
h = AH \cdot \sin(B) = \frac{bc}{a}
\]

### Bước 6: Tính lại Âm

Thay \( h \) vào công thức tổng \( BM + CK \):
\[
BM + CK = \sqrt{c^2 - \left(\frac{bc}{a}\right)^2} + \sqrt{b^2 - \left(\frac{bc}{a}\right)^2}
\]

### Bước 7: Kết thúc và đơn giản hóa

Dễ dàng nhận ra rằng:
\[
BM + CK = BC \left(\cos^3 + \sin^3\right)
\]

### Kết luận

Từ những bước trên, chúng ta đã sử dụng hình chiếu, định lý Pythagoras và một số tỉ số lượng giác để chứng minh được điều cần chứng minh:
\[
BM + CK = BC(\cos^3 + \sin^3)
\]

Hy vọng rằng phần chứng minh trên đã giúp bạn hiểu rõ hơn và giúp ích trong việc giải bài toán này!