Đáp án

Phương pháp giải

a) Gọi H là hình chiếu vuông góc của điểm A trên mặt phẳng (BCD)

Chứng minh H là trực tâm của tam giác BCD

b) Gọi \(E = DH \cap BC\). Chứng minh \(\frac{1}{{A{E^2}}} = \frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{A{C^2}}}\)

c) Đặt \(AB = x;\,\,AC = y{\rm{ v\`a  }}AD = z\). Sử dụng định lí cos.

Lời giải

a) Gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của điểm \(A\) trên mặt phẳng \((BCD)\) thì \(AH \bot (BCD)\).

Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{AD \bot AB}\\{AD \bot AC}\end{array} \Rightarrow AD \bot (ABC) \Rightarrow AD \bot BC} \right.\).

Mặt khác \(AH \bot BC \Rightarrow BC \bot (ADH) \Rightarrow BC \bot DH\)

Tương tự chứng minh trên ta có: \(BH \bot CD\)

Do đó \(H\) là trực tâm của tam giác BCD.

=> Mệnh đề 1 sai

b) Gọi \(E = DH \cap BC\), do \(BC \bot (ADH) \Rightarrow BC \bot AE\).

Xét  vuông tại \(A\) có đường cao \({\rm{AE}}\) ta có:

\(\frac{1}{{A{E^2}}} = \frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{A{C^2}}}{\rm{. }}\)

Lại có: \(\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{A{D^2}}} + \frac{1}{{A{E^2}}} = \frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{A{C^2}}} + \frac{1}{{A{D^2}}}\) (đpcm).

=> Mệnh đề 2 đúng.

c) Đặt \(AB = x;AC = y\) và \(AD = z\). Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{BC = \sqrt {{x^2} + {y^2}} }\\{BD = \sqrt {{x^2} + {z^2}} }\\{CD = \sqrt {{y^2} + {z^2}} }\end{array}} \right.\)

Khi đó \(\cos B = \frac{{B{C^2} + B{D^2} - C{D^2}}} = \frac{{{x^2}}} > 0 \Rightarrow \widehat {CBD} < {90^^\circ }\)

Tương tự chứng minh trên ta cũng có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\widehat {BDC} < {{90}^o}}\\{\widehat {BCD} < {{90}^o}}\end{array}} \right. \Rightarrow \) tam giác BCD có 3 góc nhọn.

=> Mệnh đề 3 sai