Cho a, b, c là các số thực dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \[ P = \frac{3(ab + bc + ac)}{a^2 + b^2 + c^2} + \frac{(a + b + c)^3}{abc} \]

Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

\[
P = \frac{3(ab + bc + ac)}{a^2 + b^2 + c^2} + \frac{(a + b + c)^3}{abc},
\]

ta có thể sử dụng một số bất đẳng thức và một số biến đổi thích hợp.

### Bước 1: Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz cho phần đầu tiên:

\[
(ab + ac + bc) \leq \frac{(a+b+c)^2}{3}.
\]

Vì vậy,

\[
\frac{3(ab + ac + bc)}{a^2 + b^2 + c^2} \leq \frac{3 \cdot \frac{(a+b+c)^2}{3}}{a^2 + b^2 + c^2} = \frac{(a+b+c)^2}{a^2 + b^2 + c^2}.
\]

### Bước 2: Đặt \( x = a + b + c \)

Gọi \( x = a + b + c \), \( y = ab + ac + bc \), và \( z = abc \). Như vậy, biểu thức P có thể viết lại như sau với tỷ lệ của các phần:

\[
P \leq \frac{x^2}{a^2 + b^2 + c^2} + \frac{x^3}{z}.
\]

### Bước 3: Tìm giá trị nhỏ nhất

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho \( a^2 + b^2 + c^2 \):

\[
a^2 + b^2 + c^2 \geq \frac{(a+b+c)^2}{3} = \frac{x^2}{3}.
\]

Thay vào biểu thức P, ta có:

\[
P \geq \frac{3x^2}{x^2} + \frac{x^3}{z} = 3 + \frac{x^3}{z}.
\]

### Bước 4: Tìm tối thiểu cho \( z \)

Theo bất đẳng thức AM-GM:

\[
abc \leq \left( \frac{a + b + c}{3} \right)^3 = \frac{x^3}{27}.
\]

Vậy \( \frac{x^3}{abc} \geq 27 \).

### Bước 5: Kết hợp

Do đó, ta có được:

\[
P \geq 3 + 27 = 30.
\]

Chúng ta có thể kiểm tra xem giá trị này có đạt được không bằng cách xét trường hợp \( a = b = c \), thì có thể dễ dàng thấy rằng khi \( a = b = c = 1 \), mọi điều kiện đều được thỏa mãn và P đạt giá trị 30.

### Kết luận

Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( P \) là \( \boxed{30} \).