Cho hình vuông ABCD. Điểm M, N lần lượt thuộc các đoạn thẳng AB và BC sao cho \( \frac{BM}{BN} = \frac{3}{2} \). Đoạn thẳng BD cắt MN tại I. Tính độ dài đoạn thẳng IM, IN biết MN = 4,5 cm

Để giải bài toán, trước tiên ta gán tọa độ cho các điểm trong hình vuông ABCD:

- Gọi điểm A có tọa độ \((0, a)\), B có tọa độ \((a, a)\), C có tọa độ \((a, 0)\), D có tọa độ \((0, 0)\).
- Điểm M nằm trên AB: \(M(a - x, a)\).
- Điểm N nằm trên BC: \(N(a, y)\).

Dựa vào tỷ lệ \( \frac{BM}{BN} = \frac{3}{2} \), ta có:
- Độ dài \(BM = a - (a - x) = x\).
- Độ dài \(BN = a - y\).

Do đó:
\[
\frac{x}{a - y} = \frac{3}{2} \implies 2x = 3(a - y) \implies 2x = 3a - 3y \implies y = a - \frac{2x}{3}.
\]

Ta cần tìm tọa độ điểm I, giao điểm của đoạn thẳng BD và MN. Phương trình đường thẳng BD:
\[
y = -\frac{a}{x}x + a \quad \text{(đi qua B và D)}
\]

Phương trình đường thẳng MN (giữa hai điểm M và N):
- Tọa độ M: \((a - x, a)\) và N: \((a, y)\)
- Độ dốc của MN là:

\[
k_{MN} = \frac{y - a}{a - (a - x)} = \frac{y - a}{x}.
\]

Phương trình đường thẳng MN là:
\[
y - a = k_{MN}(x - (a - x)).
\]

Tìm giao điểm I sẽ cho ta một hệ phương trình với hai phương trình. Sau khi tìm được tọa độ I \((I_x, I_y)\), ta cần tính độ dài IM và IN:

\[
IM = \sqrt{(I_x - (a - x))^2 + (I_y - a)^2},
\]
\[
IN = \sqrt{(I_x - a)^2 + (I_y - y)^2}.
\]

Cuối cùng, có \(MN = 4.5\) cm, ta có thể sử dụng phương trình đường thẳng để giải.

Sau khi thực hiện các bước này và giải hệ phương trình, bạn nên tìm ra được độ dài của IM và IN. Giải quyết bài toán này đòi hỏi việc tính toán cụ thể, có thể thử nghiệm các giá trị cho a, x, y và xác minh ngược lại với MN = 4,5 cm để có kết quả cuối cùng.