Để giải bài toán này, ta tiến hành từng phần một.

### a) Tính góc AOB

Để tính góc AOB, ta sử dụng công thức liên hệ giữa độ dài cung và góc ở tâm:

\[ L = R \cdot \alpha \]

Trong đó:
- \( L \) là độ dài cung AB.
- \( R \) là bán kính đường tròn.
- \( \alpha \) là góc AOB (đơn vị radian).

Theo đề bài, độ dài cung nhỏ AB là:

\[ L = \frac{5\sqrt{R}}{6} \]

Do đó, ta có:

\[
\frac{5\sqrt{R}}{6} = R \cdot \alpha
\]

Giải phương trình này để tìm \(\alpha\):

\[
\alpha = \frac{5\sqrt{R}}{6R} = \frac{5}{6\sqrt{R}}
\]

### b) Vẽ điểm C trên cung lớn AB sao cho \(CH \perp AB\) tại \(H\) và \(AH = CH\)

Gọi H là giao điểm của đường thẳng CH vuông góc với AB. Để có \( AH = CH \), điểm C sẽ nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng AH.

1. Xác định điểm H trên AB sao cho từ H vẽ đường thẳng vuông góc với AB sẽ gặp C.
2. Khi lấy độ dài AH = CH, C sẽ nằm trên cung lớn AB, tại vị trí mà đoạn thẳng CH tạo với đoạn AB một góc 90 độ.

### c) Tính độ dài các cung AC, BC

Để tính độ dài các cung AC và BC, ta cần xác định:

- Góc AOC và BOC (tương ứng với độ dài cung AC và BC):

Gọi \(\theta = \frac{\alpha}{2}\) (góc giữa OA và OC, hoặc OB và OC) vì C chia cung lớn AB thành 2 cung hợp với OA và OB.

* Đường kính OM (điểm giữa AB):
- Khi đó, các cung sẽ bằng:

\[ L_{AC} = R \cdot \theta \]
\[ L_{BC} = R \cdot ( \alpha - \theta) \]

Tính góc này tùy vào các giá trị trước đó mà ta đã tính, từ đó sẽ có thông số cụ thể cho các độ dài cung AC và BC.

### Kết luận:

- Góc AOB được tính theo công thức trên.
- Vẽ C trên cung lớn sao cho thỏa mãn điều kiện.
- Tính các cung AC, BC bằng cách độ dài cung theo góc xác định.