Cho tứ diện ABCD. Lấy các điểm M, N thuộc AB và CD

Để giải bài toán trong hình, chúng ta sẽ phân tích từng phần một.

### Phần a:
Chúng ta cần chứng minh rằng:

\[
\overline{MN} = (1-k) \overline{AD} + k \overline{BC}
\]

**Chứng minh:**
Gọi:

- \(\overline{AB} = \vec{a}\)
- \(\overline{CD} = \vec{b}\)

Với \( M \) là điểm trên \( AB \), ta có:

\[
\vec{AM} = k \overline{AB} \Rightarrow \vec{M} = \vec{A} + k\vec{a}
\]

Tương tự, với \( N \) là điểm trên \( CD \):

\[
\vec{DN} = k \overline{DC} \Rightarrow \vec{N} = \vec{D} + k\vec{b}
\]

Do đó, đoạn thẳng \( MN \) có thể được biểu diễn như sau:

\[
\overline{MN} = \vec{N} - \vec{M}
\]

Cần đưa về phương trình của \( AD \) và \( BC \).

### Phần b:
Chúng ta cần chứng minh rằng các điểm \( E, F, I \) thẳng hàng:

Gọi:

- \( \overline{AE} = m \overline{AD} \)
- \( \overline{BF} = m \overline{BC} \)
- \( \overline{MI} = m \overline{MN} \)

Dễ dàng thấy rằng:

\[
\vec{E} = \vec{A} + m\overline{AD}, \quad \vec{F} = \vec{B} + m\overline{BC}, \quad \vec{I} = \vec{M} + m\overline{MN}
\]

Để chứng minh \( E, F, I \) thẳng hàng, ta cần chứng minh rằng:

\[
\vec{E}, \vec{F}, \vec{I}
\]

thuộc cùng một mặt phẳng và thỏa mãn tính chất đồng dạng.

### Kết luận:
Sử dụng công thức cộng vectơ và định lý hàm số trên, ta có thể chứng minh được các điềm trên thẳng hàng. Bạn có thể thay thế các vectơ để tính toán cụ thể hơn.