Tìm tập hợp điểm. Trong không gian, cho ba điểm A, B, C cố định và không thẳng hàng, tìm tập hợp điểm M sao cho

Để tìm tập hợp điểm \( M \) thỏa mãn điều kiện đã cho, ta cần phân tích biểu thức \(|MA + MB + MC| = |2MA - MB - MC|\).

**Bước 1: Gọi các vectơ**

Gọi \( \vec{A}, \vec{B}, \vec{C} \) lần lượt là tọa độ của các điểm \( A, B, C \) và \( \vec{M} \) là tọa độ của điểm \( M \). Vậy các khoảng cách có thể được viết dưới dạng:

\[
MA = |\vec{M} - \vec{A}|,
MB = |\vec{M} - \vec{B}|,
MC = |\vec{M} - \vec{C}|.
\]

**Bước 2: Phân tích điều kiện**

Căn cứ vào điều kiện đã cho, ta có thể bóc tách nó như sau:

1. **Khi hai biểu thức bằng nhau**:
\[
MA + MB + MC = 2MA - MB - MC
\]

Đưa về dạng:
\[
2MB + 2MC = MA
\]

2. **Khi biểu thức có dấu trừ**:
\[
MA + MB + MC = - \left(2MA - MB - MC\right)
\]

Đưa về dạng:
\[
2MA + MB + MC = 0
\]

**Bước 3: Giải hệ phương trình**

- Từ hai trường hợp trên, ta có được các điều kiện cho điểm \( M \).

**Bước 4: Đặc trưng hình học**

- Kết luận rằng tập hợp điểm \( M \) sẽ là một đường thẳng hoặc một số hình dạng cụ thể tùy thuộc vào vị trí của ba điểm \( A, B, C \).

- Đặc biệt, ta có thể chứng minh rằng các điểm này cấu thành một mặt phẳng mà trong đó có thể là hình tròn, đường thẳng hay mặt phẳng tùy thuộc vào sự bố trí của \( A, B, C \).

**Vậy tập hợp điểm cần tìm là mặt phẳng đi qua ba điểm \( A, B, C \) hoặc theo một quy luật nhất định nào đó phụ thuộc vào vị trí của các điểm này trong không gian.**