Để chứng minh rằng 4 điểm \( M, A, O, B \) cùng thuộc một đường tròn, ta sẽ dùng định lý về góc nội tiếp.

**Bước 1**: Ta đã biết rằng \( MA \) và \( MB \) là các tiếp tuyến từ điểm \( M \) đến đường tròn \( (O; R) \), với \( A \) và \( B \) là các tiếp điểm.

**Bước 2**: Ta cần chứng minh rằng các góc \( \angle MAB \) và \( \angle MOO \) có mối liên hệ. Cụ thể, theo định lý về tiếp tuyến, ta có:

\[
\angle MAB = \angle OMA
\]

Tương tự, ta cũng có:

\[
\angle MBA = \angle OMB
\]

**Bước 3**: Gọi một điểm bất kỳ \( C \) là giao điểm của hai đường thẳng \( AB \) và \( OM \). Ta thấy rằng tứ giác \( MABO \) có tổng các góc đối nhau bằng nhau. Để thấy rõ điều đó hơn, ta xét tứ giác \( MABO \):

- Góc \( \angle MAB + \angle MBO = 180^\circ \) (do \( A \) và \( B \) là các điểm trên đường tròn và \( MA, MB \) là tiếp tuyến).
- Góc \( \angle OMA + \angle OMB = 180^\circ \) (do \( OM \) đi qua tâm và \( OA, OB \) là bán kính).

Trong các tam giác \( OMA \) và \( OMB \), ta có:

\[
\angle OMA = \angle MAB, \quad \angle OMB = \angle MBA
\]

**Bước 4**: Nếu \( MABO \) là tứ giác có tổng các góc đối bằng nhau, thì theo định lý tứ giác (tứ giác có các góc đối bằng nhau có thể nằm trên một đường tròn), suy ra \( M, A, O, B \) cùng nằm trên một đường tròn.

**Kết luận**: Như vậy ta đã chứng minh rằng bốn điểm \( M, A, O, B \) cùng nằm trên một đường tròn, hoàn thành bài toán.