Để chứng minh các phần trong bài toán, ta sẽ thực hiện từng bước như sau:

### a) Chứng minh \( CD \parallel MB \) và \( CD = MB \)

1. **Xác định điểm**:
- \( M \) là trung điểm của đoạn thẳng \( AB \).
- \( N \) là trung điểm của đoạn thẳng \( AC \).
- Điểm \( D \) được xác định trên tia đối của \( NM \) sao cho \( NM = ND \).

2. **Tính chất đoạn thẳng**:
- Vì \( M \) và \( N \) là trung điểm nên \( AM = MB \) và \( AN = NC \).
- Từ \( NM = ND \) và \( M, N \) là trung điểm, ta có hình thoi \( NMDC \) (bởi vì \( ND = NM \) và \( MN \) là phương của hai đoạn liên tiếp).

3. **Chứng minh song song**:
- Do \( NMDC \) là hình thoi, suy ra: \( CD \parallel MB \) (các cạnh đối song song).

4. **Đoạn thẳng bằng nhau**:
- Trong hình thoi, đối diện cạnh bằng nhau nên \( CD = MB \).

### b) Chứng minh \( MN \parallel BC \) và \( MN = \frac{BC}{2} \)

1. **Sử dụng tính chất của tam giác**:
- Xét tam giác \( ABC \), với \( M \) và \( N \) là trung điểm của \( AB \) và \( AC \).

2. **Áp dụng định lý trung tuyến**:
- Theo định lý trung tuyến, ta có thể khẳng định rằng \( MN \parallel BC \) và \( MN = \frac{1}{2}BC \).

### c) Chứng minh \( MF = \frac{AB}{2} \) với \( H \) là điểm trên tia \( FB \)

1. **Xác định điểm vuông góc**:
- \( BF \) vuông góc với \( AC \) tức là \( BF \perp AC \).

2. **Xét tam giác vuông**:
- Trong tam giác vuông \( ABF \), bởi \( M \) là trung điểm \( AB \), ta có \( AM = MB \).

3. **Kết luận**:
- \( MF \) cũng là đoạn nối từ \( M \) đến điểm vuông góc trên đoạn \( AC \), như vậy \( MF = \frac{AB}{2} \).

### Kết luận
Như vậy, ta đã chứng minh được các yêu cầu của bài toán trong tam giác nhọn \( ABC \).