Để chứng minh các phần của bài toán, ta sẽ tiến hành từng bước:

### a) Chứng minh tam giác ABM = tam giác ACM

**Giả thiết**: Tam giác ABC có AB = AC, M là trung điểm của BC.

**Chứng minh**:
1. Ta có AB = AC (theo giả thiết).
2. M là trung điểm của BC nên BM = MC.
3. Tam giác ABM và tam giác ACM có chung một cạnh AM.
4. Từ các điều kiện trên, ta có:
- AB = AC (1)
- BM = MC (2)
- AM = AM (3)

Theo tiêu chuẩn bằng nhau của hai tam giác (cạnh - cạnh - cạnh), ta có:
\[
\triangle ABM \cong \triangle ACM
\]
Vậy nên, hai tam giác ABM và ACM bằng nhau.

### b) Chứng minh AB // DC

**Giả thiết**: Có điểm D nằm trên tia đối của tia MA sao cho MD = MA.

**Chứng minh**:
1. Theo giả thiết, ta có MA = MD (1).
2. Xét tam giác ABM và tam giác ACM, ta đã chứng minh chúng là bằng nhau. Do đó, góc BAM = góc CAM.
3. Ta có góc BMA = góc CMA bởi vì đó là góc tại M của hai tam giác ABM và ACM (do tam giác ABM và ACM là bằng nhau).
4. Vì MD = MA, suy ra đoạn MD vuông góc với đường thẳng AB tại điểm A. Tức là, góc BAM = góc CAM là hai góc bằng nhau.
5. Vậy, nếu đoạn thẳng AB cắt đoạn thẳng DC thì chúng sẽ song song với nhau.

Vậy AB // DC.

### c) Chứng minh rằng M là trung điểm EF

**Giả thiết**: Kẻ \( ME \) vuông góc với \( AB \) (E thuộc AB), \( MF \) vuông góc với \( DC \) (F thuộc DC).

**Chứng minh**:
1. Theo giả thiết, ta có:
- \( ME \perp AB \)
- \( MF \perp DC \)

2. Vì AB // DC, nên góc EMD = góc FMD, và \( ME \) và \( MF \) là hai đường vuông góc.
3. Do đó, \( MEF \) tạo thành một hình chữ nhật, và trong hình chữ nhật, M sẽ nằm chính giữa EF.
4. Vậy \( M \) là trung điểm của đoạn \( EF \).

Kết luận là M là trung điểm của EF.

Tóm lại, các chứng minh đã được thực hiện cho từng phần của đề bài.