Để chứng minh rằng hình AEHF là hình chữ nhật và MH vuông góc với AB, chúng ta sẽ tuần tự thực hiện từng bước theo yêu cầu:

### a) Chứng minh AEHF là hình chữ nhật và MH vuông góc với AB.

1. **Ký hiệu và tính chất tam giác**:
- Ta có tam giác ABC vuông tại A, với AB < AC.
- AH là đường cao từ A hạ xuống đường thẳng BC, vì vậy AH vuông góc với BC.
- Từ đó suy ra rằng góc AHB = 90° và góc AHC = 90°.

2. **Ký hiệu H, I, F**:
- H là giao điểm của đường cao AH với cạnh BC.
- F là điểm trên AC sao cho HF vuông góc với AC, điều kiện này cho ta góc HFB = 90°.
- I là trung điểm của HC, tức I là điểm nằm giữa H và C.

3. **Xét điểm E**:
- Gọi E là giao điểm của đường thẳng AH với đường thẳng AB. Bởi vì AH vuông góc với BC và H nằm trên BC, ta biết rằng E cũng thuộc cạnh AB.

4. **Chứng minh AE HF**:
- Ta có AE, HE, và HF đều vuông góc với nhau:
- AE vuông góc với HF do A là điểm trên AB và F là điểm trên AC, với HF vuông góc với AC.
- Bên cạnh đó, HE vuông góc với AB vì H thuộc BC mà AH vuông góc với BC.
- Như vậy, AEHF tạo thành hình chữ nhật với các cặp cạnh đối diện AE và HF, HE và AF đều vuông góc với nhau.

5. **Chứng minh MH vuông góc với AB**:
- Với điểm I là trung điểm của HC, ta có IM = IA.
- Bởi vì I nằm trên đường kính của đường tròn đường kính HC (do AB vuông góc với CHF), nên IM vuông góc với AB (giống như một đường kính vuông góc với dây cung).

**Kết luận a**: Hình AEHF là hình chữ nhật và MH vuông góc với AB.

---

### b) Chứng minh tam giác KEF vuông.

1. **Kẽ đường thẳng vuông góc qua M và AH**:
- Ta kẽ đường thẳng từ M vuông góc với AH, giao điểm với AB là D.
- Bây giờ có DH vuông góc với AH.

2. **Gọi K là giao điểm của DH và AM**:
- Gọi K là giao điểm của đường thẳng DH và AM, và do đó KH vuông góc với AM.

3. **Chứng minh tam giác KEF vuông**:
- Ta có HE vuông góc với AB, đồng thời DH vuông góc với AH (có thể thấy từ định nghĩa của D).
- Bởi vì K nằm trên AEHF, và ta biết rằng cả AH và DF đều vuông góc với các cạnh còn lại, nên tam giác KEF sẽ có góc tại K = 90° do cả EF và HE đều vuông góc với nhau.

**Kết luận b**: Tam giác KEF vuông.

---

Các bước này cho phép chúng ta kết hợp các tính chất và định lý trong hình học để chứng minh yêu cầu của bài toán.