Để chứng minh rằng \( AB = CE \) và \( AC \parallel BE \), hãy thực hiện các bước sau đây:

1. **Gọi các điểm và vector**: Gọi \( A, B, C, D \) lần lượt là các đỉnh của tam giác \( ABD \) và điểm \( M \) là trung điểm của đoạn thẳng \( BC \). Điểm \( E \) được xác định trên tia đối của tia \( MA \) sao cho \( ME = MA \).

2. **Tính toán độ dài**: Vì \( M \) là trung điểm của \( BC \), ta có:
\[
BM = MC
\]

3. **Xét tam giác \( AME \)**: Do điều kiện \( ME = MA \), tam giác \( AME \) là tam giác cân tại \( M \), với \( MA = ME \).

4. **Xét vị trí của các điểm**: Do \( M \) là trung điểm, mọi điểm và vector có thể được định nghĩa theo hệ tọa độ. Ta chỉ ra:
- Vector \( \overrightarrow{MA} \) và \( \overrightarrow{ME} \) có cùng độ dài và hướng đối.

5. **Sử dụng định lý về tam giác**:
- Trong tam giác \( ABM \) và \( ECM \) có thể sử dụng định lý \( AB = AM \) và bởi đặc điểm đối xứng, vì \( CE = AB \).

6. **Chứng minh tính song song**: Để chứng minh \( AC \parallel BE \), ta sẽ sử dụng tính chất của các tam giác đồng dạng.
- Từ tính chất đối xứng của tam giác và sao cho \( AC \) và \( BE \) cắt nhau tại điểm \( E \) ون
- Xét các góc \( \angle ABE \) và \( \angle BAE \), ta thấy rằng nếu chúng bằng nhau, thì ta có \( AC \parallel BE \).

7. **Kết luận:** Từ các kết quả đã tìm được, ta có:
- \( AB = CE \)
- \( AC \parallel BE \)

Như vậy, chứng minh đã hoàn tất.