Để chứng minh các yêu cầu trong bài toán, chúng ta sẽ tiến hành theo từng phần.

### Giả thiết:
- Cho góc \( xOy \) khác góc bẹt, \( Om \) là tia phân giác của góc \( xOy \).
- Lấy điểm \( H \) bất kỳ trên tia \( Om \).
- Vẽ cung tròn tâm \( O \) cắt các tia \( Ox \), \( Oy \) lần lượt tại \( M \), \( N \).

### Chứng minh:
**a)** Đầu tiên, chúng ta chứng minh rằng tam giác \( \Delta HMN \) là tam giác cân.

Xét hai đoạn thẳng \( OM \) và \( ON \):
- Do \( M \) và \( N \) là các điểm trên hai tia \( Ox \) và \( Oy \) tương ứng, nên theo tính chất của tia phân giác, ta có:
\[
\angle xOm = \angle yOm
\]
- Hai đoạn thẳng \( OM \) và \( ON \) đều là bán kính của cùng một cung tròn tâm \( O \), do đó:
\[
OM = ON
\]
Từ đó suy ra \( \Delta HMN \) là tam giác cân tại đỉnh \( H \).

**Kết luận a:** Vì vậy, \( \Delta HMN \) là tam giác cân.

---

**b)** Chứng minh \( HM = HN \) và \( HO \) là tia phân giác của \( \angle NHM \).

Từ phần (a), chúng ta đã biết rằng tam giác \( \Delta HMN \) là tam giác cân, vậy:
\[
HM = HN
\]
Chúng ta sẽ chỉ ra rằng \( HO \) là tia phân giác của \( \angle NHM \):
- Áp dụng định nghĩa tia phân giác, ta có:
\[
\frac{HN}{HM} = 1
\]
Do đó, \( HO \) sẽ chia \( \angle NHM \) thành hai góc bằng nhau, hàm ý rằng \( HO \) là tia phân giác.

**Kết luận b:** \( HM = HN \) và \( HO \) là tia phân giác của \( \angle NHM \).

---

**c)** Chứng minh \( MN \) vuông góc với \( Om \).

Do \( OM = ON \) và \( H \) ở trên tia phân giác \( Om \), ta có:
\[
\angle OMN = \angle ONM
\]
Vì \( \Delta OMN \) là tam giác đều (bình thường do \( OM = ON \)). Áp dụng lý thuyết các góc lớn thì góc giữa hai đường thẳng chéo nhau cũng là góc bằng. Do đó, tổng các góc trong tam giác:
\[
\angle OMN + \angle ONM + \angle MON = 180^\circ
\]
Với \( \angle OMN = \angle ONM \) thì ta có thể suy ra:
\[
\angle OMN = \angle ONM = 90^\circ
\]
như vậy dẫn đến:
\[
MN \perp Om.
\]

**Kết luận c:** \( MN \) vuông góc với \( Om \).

Tóm lại, chúng ta đã chứng minh được các yêu cầu a), b), c) của bài toán.