Để chứng minh rằng tam giác \(ABD\) bằng tam giác \(ACD\) trong trường hợp này, ta sẽ sử dụng định lý về các góc và cạnh.

Cho tam giác \(ABC\) với \(AB = AC\). Ta có các điểm \(B_x\) và \(C_y\) được vẽ sao cho:
- Tia \(B_x\) vuông góc với \(BA\)
- Tia \(C_y\) vuông góc với \(CA\)

Gọi \(D\) là giao điểm của tia \(B_x\) và tia \(C_y\).

Chúng ta sẽ chứng minh rằng các cặp cạnh trong hai tam giác \(ABD\) và \(ACD\) bằng nhau và các cặp góc tương ứng cũng bằng nhau:

1. **Cạnh chung**: Tam giác \(ABD\) và \(ACD\) có cạnh \(AD\) chung.

2. **Cạnh \(AB\) và \(AC\)**: Theo giả thiết, \(AB = AC\).

3. **Góc \(ADB\) và góc \(ADC\)**:
- Xét góc \(ADB\):
- Tia \(B_x\) vuông góc với \(BA\) ↔ góc \(ABx = 90^\circ\)
- Do đó, góc \(ADB\) được tạo bởi cạnh \(AB\) và tia \(B_x\) somit \(ADB = 90^\circ - \angle A\)

- Xét góc \(ADC\):
- Tia \(C_y\) vuông góc với \(CA\) ↔ góc \(ACy = 90^\circ\)
- Do đó, góc \(ADC\) được tạo bởi cạnh \(AC\) và tia \(C_y\) nhằm \(ADC = 90^\circ - \angle A\)

Nên suy ra rằng:
\[
\angle ADB = \angle ADC
\]

4. **Áp dụng định lý đối chiếu**:
- Ta có:\(AB = AC\), \(AD\) chung, và \(\angle ADB = \angle ADC\).
- Từ đó, theo định lý hình học về tam giác, ta có:
\[
\triangle ABD \cong \triangle ACD
\]

Vậy, ta đã chứng minh rằng tam giác \(ABD\) bằng tam giác \(ACD\).