Cho a, b, c > 0; a + b + c = 3. Chứng minh rằng

Để chứng minh bất đẳng thức

\[
\frac{a}{1 + b^2} + \frac{b}{1 + c^2} + \frac{c}{1 + a^2} \geq \frac{3}{2}
\]

với điều kiện \( a, b, c > 0 \) và \( a + b + c = 3 \), ta có thể sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz.

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có:

\[
\left( \frac{a}{1 + b^2} + \frac{b}{1 + c^2} + \frac{c}{1 + a^2} \right) \left( (1 + b^2) + (1 + c^2) + (1 + a^2) \right) \geq (a+b+c)^2
\]

Tính tổng bên phải:

\[
(1 + b^2) + (1 + c^2) + (1 + a^2) = 3 + a^2 + b^2 + c^2
\]

Do đó, ta có:

\[
\left( \frac{a}{1 + b^2} + \frac{b}{1 + c^2} + \frac{c}{1 + a^2} \right) (3 + a^2 + b^2 + c^2) \geq (a + b + c)^2 = 9
\]

=>

\[
\frac{a}{1 + b^2} + \frac{b}{1 + c^2} + \frac{c}{1 + a^2} \geq \frac{9}{3 + a^2 + b^2 + c^2}
\]

Bây giờ, ta cần tìm một hằng số \( k \) sao cho \( a^2 + b^2 + c^2 \leq k \).

Biết rằng \( a + b + c = 3 \), theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có:

\[
(a + b + c)^2 \leq 3(a^2 + b^2 + c^2)
\]

=>

\[
9 \leq 3(a^2 + b^2 + c^2) \implies a^2 + b^2 + c^2 \geq 3
\]

Như vậy, \( 3 + a^2 + b^2 + c^2 \geq 6 \). Do đó:

\[
\frac{9}{3 + a^2 + b^2 + c^2} \geq \frac{9}{6} = \frac{3}{2}
\]

Cuối cùng:

\[
\frac{a}{1 + b^2} + \frac{b}{1 + c^2} + \frac{c}{1 + a^2} \geq \frac{3}{2}
\]

Điều này hoàn thành chứng minh.