Để rút gọn biểu thức \( A = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x+3} + \sqrt{x-3}} \cdot \frac{2\sqrt{x}}{x-9} \), ta thực hiện các bước sau:

1. **Rút gọn phần tử đầu tiên**:
\[
\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x+3} + \sqrt{x-3}}
\]
Ta nhân và chia với \( \sqrt{x+3} - \sqrt{x-3} \):
\[
\frac{\sqrt{x}(\sqrt{x+3} - \sqrt{x-3})}{(\sqrt{x+3} + \sqrt{x-3})(\sqrt{x+3} - \sqrt{x-3})} = \frac{\sqrt{x}(\sqrt{x+3} - \sqrt{x-3})}{(x+3) - (x-3)} = \frac{\sqrt{x}(\sqrt{x+3} - \sqrt{x-3})}{6}
\]

2. **Chèn vào biểu thức**:
\[
A = \frac{\sqrt{x}(\sqrt{x+3} - \sqrt{x-3})}{6} \cdot \frac{2\sqrt{x}}{x-9}
\]

3. **Rút gọn thêm**:
\[
A = \frac{2x(\sqrt{x+3} - \sqrt{x-3})}{6(x-9)} = \frac{x(\sqrt{x+3} - \sqrt{x-3})}{3(x-9)}
\]

Cuối cùng, biểu thức rút gọn được là:
\[
A = \frac{x(\sqrt{x+3} - \sqrt{x-3})}{3(x-9)}
\]

Với điều kiện \( x \geq 0 \) và \( x \neq 9 \).