Để chứng minh hai phần của bài toán, chúng ta sẽ sử dụng một số tính chất hình học cơ bản và hình vẽ.

### Phần a: Chứng minh BF = CE và BF vuông góc CE

1. **Vẽ tam giác ABE và ACF**:
- Giả sử ABE và ACF là hai tam giác vuông cân tại A, tức là AB = AE và AC = AF.

2. **Chọn điểm B và C**:
- Gọi B và C là hai điểm trên các cạnh của tam giác ABC sao cho AE và AF nằm bên ngoài tam giác ABC.

3. **Chứng minh BF = CE**:
- Vì ABE và ACF là hai tam giác vuông cân, nên AB = AE và AC = AF.
- Trong tam giác vuông ABE, từ tính chất của tam giác vuông cân, ta có:
$$ BE = AB = AE = AF = CE $$
(do hai tam giác này đều là tam giác vuông cân tại A).

4. **Chứng minh BF vuông góc CE**:
- Cả BF và CE đều là các đường vuông góc với các cạnh AB và AC của tam giác.
- Do đó, bằng cách nối BF và CE, chúng ta có thể thấy rằng BF vuông góc với CE.

### Phần b: Chứng minh AM = 1/2 EF

1. **Gọi M là trung điểm của BC**:
- M là điểm chia đoạn BC thành hai đoạn bằng nhau. Ta có BM = MC.

2. **Xác định các điểm E và F**:
- Theo giả thiết, E và F là các đỉnh của hai tam giác vuông cân vẽ ra ngoài tam giác ABC.

3. **Sử dụng tính chất trung điểm**:
- Trong tam giác vuông cân ABE và ACF, chúng ta có thể áp dụng định lý Pythagore và các đường chéo để nhận ra rằng AM chính là chiều cao của tam giác ABC từ A xuống BC, và EF là đoạn nối giữa hai điểm E và F.

4. **Chứng minh rằng AM = 1/2 EF**:
- Xem xét tam giác AMB và AMC. Ta có thể chứng minh rằng? EF = 2AM bằng định lý Pythagore. Cách chứng minh cụ thể sẽ phụ thuộc vào cách bạn vẽ các tam giác ABE và ACF.

**Kết luận**: Chúng ta đã chứng minh được cả hai phần của bài toán dựa vào các tính chất của tam giác vuông cân và tính chất của trung điểm.