Để xác định vị trí của đường thẳng \(d\) qua điểm \(A\) sao cho tổng \(AB + AC\) là lớn nhất, ta có thể áp dụng định lý về đoạn đường cao và tính chất của hình học.

1. **Giải thích bài toán**:
- Cho điểm \(A\) nằm ngoài đường tròn có tâm \(O\) và bán kính \(R\).
- Đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(A\) và cắt đường tròn tại hai điểm \(B\) và \(C\).
- Cần tối đa hóa tổng \(AB + AC\).

2. **Xác định vị trí tối ưu**:
- Theo định lý về đoạn thẳng, tổng hai đoạn thẳng \(AB + AC\) sẽ đạt giá trị lớn nhất khi \(B\) và \(C\) nằm trên đường thẳng đi qua \(O\) và là đường thẳng vuông góc với đường thẳng \(OA\).
- Điều này có nghĩa là đường thẳng \(d\) nên được vẽ sao cho nó đi qua điểm \(A\) và vuông góc với đoạn thẳng \(OA\).

3. **Kết luận**:
- Đường thẳng \(d\) qua điểm \(A\) sẽ đạt tổng \(AB + AC\) lớn nhất khi nó là đường thẳng đi qua \(A\) và vuông góc với đường thẳng nối từ \(O\) đến \(A\). Thực chất, khi đường thẳng vuông góc với \(OA\) gặp đường tròn, điểm \(B\) và \(C\) sẽ nằm ở vị trí sao cho tổng độ dài \(AB + AC\) là lớn nhất.

Tóm lại, để tổng \(AB + AC\) lớn nhất, đường thẳng \(d\) phải vuông góc với đoạn \(OA\) tại điểm \(A\).