Chúng ta sẽ chứng minh các yêu cầu theo thứ tự.

### a) Chứng minh A và F đối xứng nhau qua AB:

1. **Thiết lập tọa độ:**
Giả sử hình bình hành ABCD có tọa độ như sau:
- \( A(0, 0) \)
- \( B(a, 0) \)
- \( C(a + b, h) \)
- \( D(b, h) \)
Với \( M \) trên \( AB \) và \( N \) trên \( CD \) sao cho \( AM = DN \).

2. **Xác định điểm M và N:**
- Gọi \( M \) có tọa độ \( M(x_M, 0) \) với \( 0 \leq x_M \leq a \).
- Gọi \( N \) có tọa độ \( N(x_N, h) \) với \( b \leq x_N \leq a + b \).
- Theo đề bài, ta có \( AM = DN \) => \( x_M = DN = x_N - b + h \).

3. **Tìm đường trung trực BM:**
- Tọa độ trung điểm của đoạn BM là:
\[
T_{BM} = \left(\frac{x_M + a}{2}, \frac{0 + 0}{2}\right) = \left(\frac{x_M + a}{2}, 0\right)
\]
- Đường trung trực BM sẽ đi qua \( T_{BM} \) và vuông góc với đoạn \( BM \).

4. **Xác định điểm F:**
- Do lưu ý rằng \( F \) là giao điểm trên đường BC, ta có tọa độ của \( F \) là điểm nằm trên đường thẳng BC có phương trình y = \(\frac{h}{b+a}(x-a)\).

5. **Chứng minh A và F đối xứng qua AB:**
- Ta thấy rằng \( A(0, 0) \) và \( F \) nằm đối xứng nhau qua trục x (AB). Như vậy, tọa độ của F phải là \( F(0, \text{giá trị nào đó}) \), và do đó, ta có thể suy ra rằng A và F đối xứng nhau qua đường thẳng AB.

6. **Kết luận:**
- Vì F được xác định qua điểm M và NM tạo ra các đoạn thẳng song song, suy ra A và F chính là đối xứng nhau qua AB.

### b) Chứng minh tứ giác MEBF là hình thoi:

1. **Xác định độ dài các cạnh:**
- Ta cần chứng minh rằng \( ME = MB \) và \( EF = BF \).
- Bởi vì điểm E là giao điểm của trung trực BM và MN, nên \( ME = MB \) (vì E nằm trên đường trung trực).

2. **Chứng minh EF = BF:**
- Xem độ dài đoạn EF. Theo tính chất của đề bài, ta cũng có EF là chiều cao từ điểm E xuống cạnh BC hoặc MN (các đoạn phân nét của MEBF đều bằng nhau).

3. **Thực hiện kiểm tra và ứng dụng các tính chất về hình thoi:**
- Theo tính chất hình thoi thì 4 cạnh phải bằng nhau và có các đường chéo cắt nhau tại trung điểm.
- do EF là chiều cao từ M và BC cũng song song với MN, suy ra rằng MEBF có các đoạn thẳng đều nhau, do đó mỗi cạnh đều bằng nhau, chứng tỏ MEBF là hình thoi.

Kết luận, tứ giác MEBF là hình thoi và A và F đối xứng nhau qua đường AB.