Tính giới hạn

Để tính giới hạn của biểu thức \( \lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{\sqrt{1}} + \frac{1}{\sqrt{2}} + \cdots + \frac{1}{\sqrt{n}} \right) \), ta có thể sử dụng kiến thức về tổng.

Biểu thức này có thể được biểu diễn là tổng:

\[
S_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{k}}
\]

Ta biết rằng tổng này mọc rất nhanh và có thể xấp xỉ bằng tích phân của hàm \( \frac{1}{\sqrt{x}} \):

\[
S_n \approx \int_1^n \frac{1}{\sqrt{x}} \, dx
\]

Tính tích phân:

\[
\int_1^n \frac{1}{\sqrt{x}} \, dx = 2\sqrt{n} - 2
\]

Do đó, khi \( n \to \infty \):

\[
S_n \approx 2\sqrt{n} - 2 \to \infty
\]

Vậy giới hạn:

\[
\lim_{n \to \infty} S_n = \lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{\sqrt{1}} + \frac{1}{\sqrt{2}} + \cdots + \frac{1}{\sqrt{n}} \right) = \infty
\]

Vậy, kết quả cuối cùng là:

\[
\lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{\sqrt{1}} + \frac{1}{\sqrt{2}} + \cdots + \frac{1}{\sqrt{n}} \right) = \infty
\]