Trình bày phương pháp Cramer để giải hệ phương trình tuyến tính, cho ví dụ minh họa

### Phương pháp Cramer để giải hệ phương trình tuyến tính

Phương pháp Cramer là một kỹ thuật giải hệ phương trình tuyến tính thông qua định thức (determinant). Phương pháp này có thể được áp dụng cho hệ phương trình có số lượng phương trình bằng số lượng biến, và điều kiện cần thiết là định thức của ma trận hệ số phải khác không.

#### Các bước thực hiện:

1. **Lập ma trận hệ số**: Cho hệ phương trình tuyến tính có dạng:
\[
A \mathbf{x} = \mathbf{b}
\]
với \( A \) là ma trận hệ số, \( \mathbf{x} \) là vector các biến, và \( \mathbf{b} \) là vector hạng tử tự do.

2. **Tính định thức của ma trận hệ số**: Gọi \(\Delta = \text{det}(A)\). Nếu \(\Delta = 0\), phương pháp Cramer không thể áp dụng.

3. **Tính các định thức của ma trận con**: Để tìm giá trị của các biến \( x_i \), bạn thay cột thứ \( i \) của ma trận \( A \) bằng vector \( \mathbf{b} \) và tính định thức. Gọi định thức này là \(\Delta_i\).

4. **Áp dụng công thức Cramer**:
\[
x_i = \frac{\Delta_i}{\Delta} \quad (i = 1, 2, \ldots, n)
\]

### Ví dụ minh họa

Giải hệ phương trình sau bằng phương pháp Cramer:
\[
\begin{cases}
x + 2y = 8 \\
3x + 4y = 18
\end{cases}
\]

#### Bước 1: Lập ma trận hệ số và hạng tử tự do

Ma trận hệ số \( A \) và vector \( \mathbf{b} \) là:
\[
A = \begin{pmatrix}
1 & 2 \\
3 & 4
\end{pmatrix}, \quad \mathbf{b} = \begin{pmatrix}
8 \\
18
\end{pmatrix}
\]

#### Bước 2: Tính định thức của ma trận hệ số

\[
\Delta = \text{det}(A) = (1)(4) - (2)(3) = 4 - 6 = -2
\]

#### Bước 3: Tính định thức của ma trận con

- Để tìm \( x \):
\[
\Delta_x = \text{det}\begin{pmatrix}
8 & 2 \\
18 & 4
\end{pmatrix} = (8)(4) - (2)(18) = 32 - 36 = -4
\]

- Để tìm \( y \):
\[
\Delta_y = \text{det}\begin{pmatrix}
1 & 8 \\
3 & 18
\end{pmatrix} = (1)(18) - (8)(3) = 18 - 24 = -6
\]

#### Bước 4: Áp dụng công thức Cramer

\[
x = \frac{\Delta_x}{\Delta} = \frac{-4}{-2} = 2
\]

\[
y = \frac{\Delta_y}{\Delta} = \frac{-6}{-2} = 3
\]

### Kết luận

Giải hệ phương trình, ta có:
\[
x = 2, \quad y = 3
\]

Phương pháp Cramer là một cách hiệu quả để giải hệ phương trình tuyến tính khi ma trận hệ số có định thức khác không.