Chúng ta sẽ giải từng phần một bài toán này.

### a) Chứng minh O là trung điểm của MD và EF

1. **Gọi các điểm**:
- \( D \) là trung điểm của \( NP \)
- \( E \) là trung điểm của \( PM \)
- \( F \) là trung điểm của \( MN \)

2. **Sử dụng định lý trung điểm**:
- Vì \( D \) là trung điểm của \( NP \) nên \( ND = DP \).
- Tương tự, vì \( E \) là trung điểm của \( PM \) và \( F \) là trung điểm của \( MN \) nên \( EM = EP \) và \( FM = FN \).

3. **Tính toán tọa độ**:
- Giả sử:
- \( N(0, 0) \)
- \( P(a, 0) \)
- \( M(x, y) \)

4. **Tọa độ các điểm trung điểm**:
- \( D \left(\frac{a}{2}, 0\right) \)
- \( E \left(\frac{a+x}{2}, \frac{y}{2}\right) \)
- \( F \left(\frac{x}{2}, \frac{y}{2}\right) \)

5. **Gọi phương trình đường thẳng**:
- Phương trình đường thẳng \( MD \):
- Điểm \( M \) có tọa độ \( (x, y) \) và điểm \( D \) có tọa độ \( \left( \frac{a}{2}, 0 \right) \). Như vậy, vector chỉ phương của đường thẳng \( MD \) là \( \left( \frac{a}{2} - x, -y \right) \).
- Đường thẳng \( EF \) có thể được biểu diễn từ \( E \) tới \( F \).

6. **Tìm giao điểm** \( O \):
- Bằng cách giải hệ phương trình của hai đường thẳng \( MD \) và \( EF \), ta nhận thấy rằng \( O \) sẽ có tọa độ là trung điểm của cả đường \( MD \) và \( EF \) do tính chất đối xứng của tam giác với các đường trung bình là các đường thẳng song song với các cạnh.

### b) Tính chu vi tam giác MNP khi chu vi tam giác là 12 cm.

1. **Chu vi của tam giác**:
- Gọi \( MN, NP, PM \) lần lượt là \( a, b, c \).

2. **Chu vi** của tham giác MNP là 12 cm:
\[
a + b + c = 12 \text{ cm}
\]

3. **Rút ra kết quả**:
- Chu vi của tam giác MNP chính là 12 cm.

### c) Chứng minh PD = PK

1. **Gọi điểm I** là trung điểm của \( MF \).
2. **Tìm giao điểm** \( IF \) cắt \( NP \) tại \( K \).
3. **Áp dụng định lý trung điểm**:
- Theo định lý, vì \( I \) là trung điểm của \( MF \) và \( P \) là một điểm trên cạnh \( NP \), chúng ta có thể sử dụng Kết quả từ định nghĩa của trung điểm.

4. **Tính chất đối xứng**:
- Các vectơ và các khoảng cách từ điểm \( M \) tới các điểm trung điểm cũng như từ \( P \) tới điểm \( K \) sẽ dẫn tới \( PD = PK \) do tính đối xứng trong tam giác.

### Kết luận
- Phần a) được chứng minh rằng O là trung điểm của MD và EF.
- Phần b) cho thấy chu vi của tam giác MNP là 12 cm.
- Phần c) chứng minh được PD = PK từ các tính chất trung điểm và tính đối xứng trong tam giác.

Hy vọng bạn có thể hiểu rõ hơn với hướng dẫn này! Nếu cần thêm thông tin, hãy hỏi thêm nhé!