Để giải bài toán này, ta cần tìm giới hạn

\[
\lim_{x \to +\infty} \sqrt{4x^2 - 3x + 2 + mx}
\]

Trước hết, ta đưa ra yếu tố lớn nhất trong căn bậc hai ra ngoài:

\[
\sqrt{4x^2 - 3x + 2 + mx} = \sqrt{x^2(4 - \frac{3}{x} + \frac{2}{x^2} + \frac{m}{x})} = x\sqrt{4 - \frac{3}{x} + \frac{2}{x^2} + \frac{m}{x}}
\]

Khi \(x \to +\infty\), các thành phần \(-\frac{3}{x}\), \(\frac{2}{x^2}\), và \(\frac{m}{x}\) sẽ tiến đến 0. Do đó, ta có:

\[
\lim_{x \to +\infty} x\sqrt{4 - \frac{3}{x} + \frac{2}{x^2} + \frac{m}{x}} = x\sqrt{4} = 2x
\]

Vì vậy, giới hạn trở thành:

\[
\lim_{x \to +\infty} \sqrt{4x^2 - 3x + 2 + mx} = 2x
\]

Để giới hạn này tồn tại và không vô cực, giá trị bậc nhất của biểu thức bên trong căn phải bằng 0. Có nghĩa là, hệ số \(mx\) cần cân bằng với \(4x^2\):

\[
m = -2
\]

Vì vậy, giới hạn này chỉ có thể tồn tại khi \(m\) có giá trị cụ thể. Đoạn giá trị \(m\) được cho là \([-20; 20]\). Như vậy, giá trị \(m = -2\) là duy nhất và thuộc vào đoạn này.

Do đó, giá trị \(m\) nguyên trong khoảng [-20, 20] mà có thể làm giới hạn trên tồn tại là chỉ có một giá trị:

\[
\text{Có 1 giá trị } m = -2.
\]