Để giải bài toán này, ta có các thông tin sau:

1. \( b + c = 5 \)
2. \( \lim_{x \to +\infty} \sqrt{ax^2 + bx - cx} = 2 \)

Ta xét giới hạn:
\[
\lim_{x \to +\infty} \sqrt{ax^2 + bx - cx} = \sqrt{a} \lim_{x \to +\infty} \sqrt{1 + \frac{b}{ax} - \frac{c}{ax}} = \sqrt{a}
\]
Khi \( x \to +\infty \), \( \frac{b}{ax} \) và \( \frac{c}{ax} \) sẽ tiến về 0. Do đó:
\[
\sqrt{a} = 2 \implies a = 4
\]

Rồi ta có:
1. \( b + c = 5 \)
2. \( a = 4 \)

Bây giờ ta tính \( P = a + 2b + c \):
\[
P = 4 + 2b + c
\]

Thay \( c = 5 - b \) vào:
\[
P = 4 + 2b + (5 - b) = 4 + 2b + 5 - b = 9 + b
\]

Để có các giá trị khả thi cho \( P \), chúng ta cần biết giá trị của \( b \).

Vì \( b + c = 5 \), \( b \) có thể nhận các giá trị từ 0 đến 5. Từ đó:
- Nếu \( b = 0 \), \( P = 9 + 0 = 9 \)
- Nếu \( b = 5 \), \( P = 9 + 5 = 14 \)

Nhưng để thỏa mãn điều kiện giới hạn \( \sqrt{4 + 5x - cx} = 2 \), ta tìm \( b \).

Giả định \( b = 3 \) (để có thể được giá trị trong khoảng), thì \( c = 2 \):
\[
P = 4 + 2(3) + 2 = 4 + 6 + 2 = 12
\]

Vậy giá trị \( P = 12 \) có thể được thỏa mãn.

Kết quả là:
**A. P = 12**.