Biết \( \lim\limits_{x \to +\infty} \frac{(2 - a)x - 3}{x - \sqrt{x^2 + 1}} = +\infty \) (với \( a \) là tham số). Giá trị nhỏ nhất của \( P = a^2 - 2a + 4 \) là

Để tìm giá trị nhỏ nhất của \( P = a^2 - 2a + 4 \), trước hết ta cần phân tích giới hạn đã cho.

Xét giới hạn:
\[
L = \lim_{x \to +\infty} \frac{(2-a)x - 3}{x - \sqrt{x^2 + 1}}
\]

Ta tính giới hạn của mẫu số:
\[
x - \sqrt{x^2 + 1} = x - \sqrt{x^2(1 + \frac{1}{x^2})} = x - x\sqrt{1 + \frac{1}{x^2}} = x(1 - \sqrt{1 + \frac{1}{x^2}})
\]
Khi \( x \to +\infty \), ta có:
\[
\sqrt{1 + \frac{1}{x^2}} \approx 1 + \frac{1}{2x^2} \Rightarrow 1 - \sqrt{1 + \frac{1}{x^2}} \approx -\frac{1}{2x^2}
\]
Vậy
\[
x - \sqrt{x^2 + 1} \approx -\frac{1}{2x}
\]

Vậy \( L \) trở thành:
\[
L = \lim_{x \to +\infty} \frac{(2-a)x - 3}{-\frac{1}{2x}} = \lim_{x \to +\infty} -2((2-a)x - 3) \cdot x
\]
Khi \( x \to +\infty \), \( L \) bằng \( +\infty \) khi và chỉ khi hệ số của \( x \) dương:
\[
2-a > 0 \Rightarrow a < 2
\]

Bây giờ, ta tìm giá trị nhỏ nhất của \( P = a^2 - 2a + 4 \). Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức bậc hai này, ta có thể sử dụng công thức hoặc nhận dạng.

Biểu thức có dạng:
\[
P = (a-1)^2 + 3
\]
Giá trị nhỏ nhất xảy ra khi \( (a-1)^2 = 0 \), tức là \( a = 1 \).

Tại \( a = 1 \), ta có:
\[
P = (1-1)^2 + 3 = 3
\]

Do đó giá trị nhỏ nhất của \( P \) là \( 3 \).

Vậy, câu trả lời là:
\[
\boxed{3}
\]