Một thành phố nằm trên một con sông chảy qua hẻm núi. Hèm có chiều ngang 80m, một bên cao 40 m và một bên cao 30 m. Một cây cầu sẽ được xây dựng bắc qua sông và hẻm núi. Sơ đồ thiết kế của cây cầu được gắn hệ trục tọa độ như hình vẽ dưới đây

Để giải quyết bài toán, ta cần tìm độ dài của đoạn MN và PQ.

**Bước 1: Tìm phương trình parabol**

Phương trình của con đường XY là:

\[
y = \frac{-x^3}{25600} + 3x + 35
\]

**Bước 2: Tìm các giá trị đỉnh của parabol**

Ta biết rằng phương trình parabol sẽ có đỉnh nằm ở giữa đoạn nối giữa hai điểm đối xứng N và Q. Cụ thể, trong trường hợp này, tại \( x = 0 \) (trục Oy), ta sẽ tính:

\[
y(0) = \frac{-0^3}{25600} + 3(0) + 35 = 35
\]

**Bước 3: Tìm tọa độ của điểm Q và N**

Các điểm N và Q sẽ nằm ở hai bên trục Oy, chúng ta cần tìm các giá trị mà tại đó \( y \) đạt giá trị cao nhất mà vẫn nằm phía trên đoạn XY:

Hệ phương trình tương ứng cho \( y = 40 \) và \( y = 30 \):

1. **Đối với y = 40:**
\[
\frac{-x^3}{25600} + 3x + 35 = 40
\]
\[
\Rightarrow \frac{-x^3}{25600} + 3x - 5 = 0
\]

2. **Đối với y = 30:**
\[
\frac{-x^3}{25600} + 3x + 35 = 30
\]
\[
\Rightarrow \frac{-x^3}{25600} + 3x + 5 = 0
\]

**Bước 4: Tính toán độ dài đoạn MN và PQ**

Giả sử N có tọa độ \( (-a, 40) \) và Q có tọa độ \( (a, 30) \).

Độ dài của đoạn MN là:

\[
MN = 40 - 30
\]

Tính:

\[
PD = a - (-a) = 2a
\]

Từ đó, tổng độ dài đoạn MN và PQ sẽ là:

\[
L = MN + PQ = (40 - 30) + (40 - 30) = 10 + 10 = 20
\]

Tuy nhiên, để tính chính xác kích thước thật, ta có thể thay cụ thể giá trị vào và tìm giá trị a, nếu đoạn PQ cao hơn MN thì lấy max.

**Bước 5: Tính tổng độ dài**

Sau khi xét qua thì tổng độ dài đoạn MN và PQ phải làm tròn đến hàng phần chục.

Tóm lại, độ dài lớn nhất giữa MN và PQ sẽ là giá trị cần tính. Nếu cho cùng kích thước, sẽ có đoạn PQ = 30 và 40, tùy vào tổ chức cầu có cao hơn thì tính lại.

Nếu có kết quả cụ thể cho a, có thể đưa ra số toán học cụ thể.