Để tìm giá trị của \( k \) sao cho phương trình
\[
x^2 - (2k+1)x + (k^2 + 2) = 0
\]
có một nghiệm gấp đôi nghiệm kia, ta cần nhớ rằng điều kiện để phương trình bậc hai có nghiệm gấp đôi là định thức (discriminant) của nó phải bằng 0.

Định thức của phương trình này được tính bằng công thức:
\[
D = b^2 - 4ac
\]
Trong đó:
- \( a = 1 \)
- \( b = -(2k + 1) \)
- \( c = k^2 + 2 \)

Vậy, ta có:
\[
D = (-(2k + 1))^2 - 4 \cdot 1 \cdot (k^2 + 2)
\]

Tính toán \( D \):
\[
D = (2k + 1)^2 - 4(k^2 + 2)
\]
\[
= 4k^2 + 4k + 1 - 4k^2 - 8
\]
\[
= 4k + 1 - 8
\]
\[
= 4k - 7
\]

Để phương trình có nghiệm gấp đôi, điều kiện là:
\[
D = 0 \Rightarrow 4k - 7 = 0
\]

Giải phương trình này:
\[
4k = 7 \Rightarrow k = \frac{7}{4}
\]

Vậy giá trị của \( k \) mà phương trình có một nghiệm gấp đôi nghiệm kia là:
\[
k = \frac{7}{4}
\]