Trong không gian Oxyz, cho 4 điểm A(-6;4;-1), B(1;1;2), C(-3;2;4), D(-1;-1;0), biết tọa độ điểm M(α;β;c) để P = λA^4 + μB^2 + νC^2 + 2MD^2 đạt giá trị nhỏ nhất. Tính giá trị Q = 100α + 10β + c

Để tìm tọa độ điểm \( M(\alpha, \beta, c) \) sao cho biểu thức \( P = \lambda A^4 + \mu B^2 + \nu C^2 + 2MD^2 \) đạt giá trị tối thiểu, chúng ta sẽ phân tích các thành phần trong đó.

**Bước 1: Tính khoảng cách giữa \( M \) và các điểm \( A, B, C, D \)**

Tọa độ các điểm:

- \( A = (-6, 4, -1) \)
- \( B = (1, 1, 2) \)
- \( C = (-3, 2, 4) \)
- \( D = (-1, -1, 0) \)

**Cách tính khoảng cách \( MD \):**
\[
MD^2 = (\alpha + 1)^2 + (\beta + 1)^2 + (c - 0)^2
\]

**Bước 2: Biểu diễn \( P \)**

Ta có:
\[
P = \lambda A^4 + \mu B^2 + \nu C^2 + 2((\alpha + 1)^2 + (\beta + 1)^2 + c^2)
\]

**Bước 3: Tìm cực tiểu của \( P \)**

Để tìm giá trị nhỏ nhất, ta sẽ tính đạo hàm riêng của \( P \) theo các biến \( \alpha, \beta, c \) và đưa về phương trình bằng không.

1. Đạo hàm theo \( \alpha \):
\[
\frac{\partial P}{\partial \alpha} = 2((\alpha + 1)) = 0 \implies \alpha = -1
\]

2. Đạo hàm theo \( \beta \):
\[
\frac{\partial P}{\partial \beta} = 2((\beta + 1)) = 0 \implies \beta = -1
\]

3. Đạo hàm theo \( c \):
\[
\frac{\partial P}{\partial c} = 2c = 0 \implies c = 0
\]

**Kết quả: Tọa độ của \( M \)**

Điểm \( M \) tối ưu có tọa độ:
\[
M(-1, -1, 0)
\]

**Bước 4: Tính giá trị \( Q \)**

Áp dụng vào công thức:
\[
Q = 100\alpha + 10\beta + c = 100(-1) + 10(-1) + 0 = -100 - 10 + 0 = -110
\]

Vậy giá trị của \( Q \) là:
\[
\boxed{-110}
\]