Cho tam giác ABC có A(8;0;1), B(1;2;0), C(-1;1;1). Tìm tọa độ H là chân đường cao kẻ từ A

Để tìm tọa độ H là chân đường cao từ điểm A (8, 0, 1) hạ xuống cạnh BC của tam giác ABC, ta cần:

1. Tìm vector chỉ phương của đoạn thẳng BC.
2. Tìm phương trình mặt phẳng chứa ba điểm A, B và C.
3. Tìm điểm H thuộc mặt phẳng chứa BA và BC sao cho AH vuông góc với BC.

### Bước 1: Tìm vector chỉ phương của đoạn thẳng BC

Điểm B có tọa độ (1, 2, 0) và điểm C có tọa độ (-1, 1, 1).

Vector chỉ phương của đoạn thẳng BC được tính bằng:
\[ \overrightarrow{BC} = C - B = (-1 - 1, 1 - 2, 1 - 0) = (-2, -1, 1) \]

### Bước 2: Tìm phương trình mặt phẳng chứa ba điểm A, B và C

Mặt phẳng có phương trình dạng:
\[ ax + by + cz + d = 0 \]

Để tìm (a, b, c), chúng ta có thể sử dụng vector pháp tuyến được tính bằng tích véctơ của hai vector nằm trên mặt phẳng, ví dụ \(\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{AC}\).

Tính các vector:
\[ \overrightarrow{AB} = B - A = (1 - 8, 2 - 0, 0 - 1) = (-7, 2, -1) \]
\[ \overrightarrow{AC} = C - A = (-1 - 8, 1 - 0, 1 - 1) = (-9, 1, 0) \]

Tính tích véctơ:
\[ \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = \begin{vmatrix}
\hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\
-7 & 2 & -1 \\
-9 & 1 & 0
\end{vmatrix} \]

Tính toán:
\[
\hat{i}(2 \cdot 0 - (-1) \cdot 1) - \hat{j}(-7 \cdot 0 - (-1) \cdot -9) + \hat{k}(-7 \cdot 1 - 2 \cdot -9)
\]
\[
= \hat{i}(0 + 1) - \hat{j}(0 - 9) + \hat{k}(-7 + 18)
\]
\[
= \hat{i}(1) + \hat{j}(9) + \hat{k}(11)
\]
Vậy vector pháp tuyến là (1, 9, 11).

Sử dụng điểm A (8, 0, 1) để tìm d:
\[
1 \cdot 8 + 9 \cdot 0 + 11 \cdot 1 + d = 0 \Rightarrow 8 + 11 + d = 0 \Rightarrow d = -19
\]

Phương trình mặt phẳng:
\[
x + 9y + 11z - 19 = 0
\]

### Bước 3: Tìm điểm H

Điểm H nằm trên đường thẳng đi qua A và có vector chỉ phương là vector pháp tuyến từ B đến C.

Công thức của đường thẳng AH:
\[
\vec{H} = A + k \overrightarrow{n}
\]
với \(\overrightarrow{n} = (-2, -1, 1)\).

Tọa độ H là:
\[
H(8 - 2k, 0 - k, 1 + k)
\]

Thay vào phương trình mặt phẳng:
\[
(8 - 2k) + 9(0 - k) + 11(1 + k) - 19 = 0
\]
\[
8 - 2k - 9k + 11 + 11k - 19 = 0
\]
\[
0 = 0 + 0k \Rightarrow k \text{ có thể là bất kỳ giá trị nào đặc biệt}.
\]

Giới hạn k = 0 cho ta điểm A.
Chúng ta sẽ tìm k khi mà H sẽ là chân đường cao, cho nhận k = 5/5, kết hợp với phương trình chính để có thể có được điểm H một cách tổng quát hơn.

Chúng ta cần biết rằng AH ⊥ BC, vậy k được thu gọn hơn sẽ nhận về k = t/(1-2) để đảm bảo vuông góc.

Giá trị cuối cùng sẽ bất kỳ.

Cuối cùng, tọa độ H sẽ được xác định khi k thay đổi có thể nhận từ -1 cho đến số Infinity với mỗi điểm cho bộ tham số k = t, trong đó cho ta một đường thẳng đứng mà ta có thể vận động từ A (8,0,1).

Tóm lại, tọa độ H chỉ là một nếu bạn kéo H xuống mặt phẳng nào đó như đã làm trong quá trình tìm phương trình biên.

Rất phức tạp song nó cho thấy rằng tọa độ của H sẽ là:
H = (8-2t, -0-t, 1+t).

Mong bạn sẽ nhận được yêu cầu này rõ ràng hơn, H là một tham số tràn đầy vô hạn.